404 Stiller, Bestimmung der Art eines 



2. Für die praktische Verwendung des Satzes ist 

 noch eine wichtige Bemerkung zu machen. Zur Be- 

 stimmung der Punkte Ä^' und A/ ist das Zeichnen der 

 Umkreise der Dreiecke A^ A^ A^ und A^ A^. A^ nicht not- 

 wendig; es genügt die Anwendung eines Lineals und eines 

 rechten Winkels. 



Es handelt sich in beiden Fällen um folgende Auf- 

 gabe: Durch die Ecke X eines Dreiecks XYZ'i^i 

 eine beliebige Gerade^ gezogen. Man konstruiere 

 den zweiten Schnittpunkt von g mit dem Umkreis 

 des Dreiecks XYZ. Die Lösung der Aufgabe ist, wie 

 sich mit Hülfe des Peripheriewinkelsatzes leicht einsehen 

 lässt, folgende: Man errichte in X die Senkrechte 

 zu g bis zum Schnittpunkt mit Y Z, ebenso in Y 

 die Senkrechte auf Y Z bis zum Schnittpunkt 

 mit g. Zur Verbindungslinie der erhaltenen 

 Schnittpunkte zieht man durch Z die Parallele; 

 letztere schneidet g in dem gesuchten Punkt. 



Schwierigkeit bietet wohl der Nachweis der Eigenschaft, dass die 

 Linien 6/ = Ai An ein Büschel bilden, welches zum Büschel der 

 Linien &j = Ai Aii projektiv ist (Gleichungen (2) und (5) ). Der 

 Strahl bi kann nun so konstruiert werden: Ist Sj die Polare von 

 in Bezug auf den Kreis K, zu welchem bi und fe/ gehören, so 

 geht bi durch den Schnittpunkt bi ."i und ist der vierte harmo- 

 nische Strahl zu bi in Bezug auf &i und die Verbindungslinie 

 mit 0. Die Polaren .«; für alle Kreise des Büschels bilden ein 

 Strahlbüschel vom Scheitel iS; durch die Kreise des Büschels sind 

 die Polaren Si den Geraden bi projektiv zugeordnet. Der Schnitt- 

 punkt bi Si = Bi beschreibt daher einen Kegelschnitt. Letzterer 

 geht durch S, und den Punkt R^, die gemeinsame Richtung 

 der Linien bi. Die Linien &/ gehen also durch den vierten har- 

 monischen Punkt dieses Kegelschnittes zu R^. in Bezug auf S 

 und und sind durch diesen Kegelschnitt den Linien bi projek- 

 tiv zugeordnet. 



