1894 — 95] Sur tine certaine équation différentielle. 7 



pent néanmoins, comme nous allons montrer, tirer une propriété de 



Féquation proposée et ils nous fournissent un moyen de trouver la 



forme symbolique d'une des intégrales cherchées, si 1'on connait la 



forme symbolique d'une autre. 



Considérons le cas oti a est positif et prenons pour m et n 



les plus petites des valeurs trouvées plus haut, c'est-a-dire posons: 



2a 

 m = — a, n = — . 



å 



Nous trouvons alors pour Z Féquation différentielle suivante: 



4 fø + A) 2 (x, - 2A) (x, - sa) 2 g 



— 2 fa + A) (ah — SA) [2a Oi — 2 A) (5a?i — IA) 



- 9 fa - SA) (x, - A)] J~ 



+ 4 [2a 2 (ah. — SA) (4x! 2 — lAx^ + A 2 ) (4) 



— a (lO-V — 57Æci 2 + 72A 2 X! — 5^ 3 ) 



+ S Xl (x, - SA) 2 ] g 



— 4 [4a* Oi — A) Oi — SA) — 4a 2 (ah. — A) (x, — SA) 



+ a fø — SA) 2 ] Z = 0. 

 Substituons pour Z un polynome de la forme: 



Z = xtP + ; 



nous trouvons pour p Féquation: 



4 p (p — 1) (p — 2) — 2 (10a — 9) p (p — 1) 



+ 4 (8a 2 — 10a + 3) p — 4 (4a 3 — 4a 2 — a) ■= 0. 

 Cette équation a les racines 



2a — 1, 2a, a — — . 



A 



On a done une intégrale Z\ du degré 2a — 1 et une intégrale Z% 

 du degré 2a, auxquelles correspondent deux valeurs de z respective- 

 ment du degré 3a — 1 et 3a; les appelons Z\ et z%. On peut for- 

 mer une infinité cFautres fonctions z, entiéres par rapport å X\. Toutes 

 ces fonctions sont comprises dans la formule: 



Z = C\Z\ -f- c 2 z 2 . 



Pour que la forme symbolique cle z soit egale å (xi -f- A) 3a il 

 faut choisir d et c 2 cFune telle maniére que le coefficient de x^ a _1 

 devient egal å 3a A. Z\ et z<i manquant la premiere puissance de 

 A il faut poser d = Sa A, c? = 1. 



