Les solutions entiéres et positives de 1'équation indéterminée : 

 (a + 2) x"- - (a -S)y- = 4 (I) 



sont: 



X\ ——— -L • tX-2 === (■" ' J- j Xn — ClJC)i — ]_ - ■ - 3^?^ — 5 



?/i = 1, y 2 = a + 1, y n = aij n _ j — y„ _ 2 . 

 Nous allons démontrer quelques propriétés de ces solutions. 

 On a 



x n + 1 x n -i = xl -f (a — 2) (1) 



y n j r2 tj n -i = yl — {a -f 2), CO 



relations que 1'on peut vérifier en observant qu' elles sont vraies 

 pour n = 2 et que : 



Xn -f 2 X n Xfi -f 1 == V^^n -f 1 X n ) X n X n -f- 1 



= (ux n — Xn + l) X n+1 — Xn 

 === X n _j- 1 Xn — 1 Xn 



y.n + 2 y n — yl + i = yn+tyn-i — vi- 

 ll suit de (1) et (!') que 



X n + 3 X n = (ax n -f 2 — %n + i) #<n 



= ax,i + i — & w + j 3&i + a (a — £) 

 = æ»-f 3 ^ n + i + a (a — 5) 



Vn + syn = 2/u + 5 2/n + i — «"'(« + 2 ). 



De ces équations on déduit la formule plus générale: 



Xn -f- q Xn = X n -(- q — 1 X n -\~ 1 -\~ Xq Xq _ ± {&) 



Vn+qVri = y n + q-l Vn + 1 ~ Vq — Vq-h {2') 



On peut démontrer d'une maniére analogue 



X2n = X n (x n + 1 + X n ) — ^ (5) 



X2n + 1 = X n +1 (x n -f i -f- # w ) — 1 (4) 



V2n = 2/n tø/rc-f i — 2/n) + 1 (3') 



y 2n + 1 = y n + i (Vn + 1 — yn) — 1- (4') 



