1896] Solutions de certaines équations indéterminées. 5 



Des relations (8) et (10), (8') et (10') on tire: 



2n V n 12 



T(-l)»x P =(a--2)[Y_x P \ (14) 



2n rn 12 



Y_y t = (a + -8) [r (- i)» +* &,J . (14') 



Des équations (5) et (4), (3') et (4') on déduit: 



X 2n + 1 + X 2n = (%n + l + ^i) 2 — 2 (15) 



X2n + X 2n -1 = (« + 5) aj — 2 (16) 



1/2n + l — V2n = (Vn + 1 ~ VnY ~ 2 (lo) 



V2n — V2n - 1 = (a — 2) yl + 2. (16') 

 Or: (a + 2) xl — (a — 2) yl = 4 



Done X2n + X 2n -1 — V2n + \l2n-l = 



d'aprés les équations (16) et (16'). 



Si Fon additionne la derniére égalité å celle que Fon obtient 

 en changeant n en n -f- 1 on trouve d'aprés la division par a 



X2n + 1 -f X 2n ~ lj2n + l + V2n = 0. 



L'égalité 



x n -f x n - t — y n + yn-i = (17) 



est done vraie pour chaque valeur de n. 



Cette équation combinée avec Féquation indéterminée proposée 

 donne 



(a + 2) (x n — x n -t) — (a - 2) (y n + y n _ t ) = 0. (18) 

 Des équations (17) et (18) on tire: 



(a + 2) X n = y n + 1 — y n _ i (19) 



(a — 2) ij n = x n + 1 — x n _ !. (19') 

 On demontre facilement les équations plus générales: 



%n-\-p x n — p -\- 1 = y<p {x n ^-i x n ) v^U) 



%n-TP Xfi—p = y n [Xp -{- 1 Xp) \~-Lj 



y n +p — yn-p+i = y P (yn + 1 — yn) (20') 



yn-rp — ljn-p = X n {lf p + 1 + y p ) (21') 



X n -\-p ~T~ x n — p-\-l == Xp (Xn + i -\- X n ) (22) 



x n+p -\~ x n -p = x n (xp + i + Xp) (23) 



y n+ p -f y n -p + i = Xp (y n + i -f yn) ■ (22') 



Vn+p -r y n - P = yn (y P + i — y P ) (23') 



Si dans les équations (22) et (20') on pose n = 2p — 1 on 

 trouve d'aprés les formules (16) et (16'): 



x 3 p-i = xp [(a + 2) >J — 3J (24) 



ijsp-i = yp \(a ~2)yl + 5]. (&Q 



