8 A. Palmstrøm. [No. 14 



mence par le premier. Dans la premiere de ces series deux tennes, 

 dont Tun est situé de la méme distance du commencement d'une 

 periode que 1'autre est distant de la fin de la méme periode, sont 

 identiques. Si dans la serie formée par les derniers chiffres des y 

 on fait la somme de deux telles termes, cette somme devient egale 

 å 10 ou zero. 



Nous allons démontrer en premier lieu qu'il existe toujours 

 dans la serie formée par les y soit un nombre divisible par 5 soit 

 deux nombres consécutifs dont la somme est divisible par 5. Il 

 doit exister en effet deux nombres y qui se terminent par le méme 

 ehinre. Soit y nil et y m% deux telles nombres. On pent écrire ou 

 mi = n — p, r)%2 = n -{- p ou bien mi = n — p -\- 1, wi2 = n -f- p. 

 Dans le premier cas on a 



Vn+p — Vn-p = X n (i/p + l + IJp) 



ou d'aprés 1'équation (19): 



(a + 2) (y n + p — ljn-p) F= {yn + l — IJn-l) (y P + l + Vp) 



y n +p — Vn—p est divisible par 10 '; il faut done que 1'un de nombre 

 y n + i — yn — i et y p + i -\- y p soit divisible par 5. Or, d'aprés 

 l'équation (6') y n + i — y-n — i divise y^n + y2n — h done 1'une des 

 sommes y 2n + y&i-i, y P + i -f- Vp est divisible par o. 

 Si n%i = n — p + 1, m2 = n -\- p on a : 



y n +p — y n -p + i = Vp (yn-Yi — y n )- 



Il faut done que 1'un des nombres y p et y n + i — y.n soit divi- 

 sible par o. Mais y2n + i + Vsn étant divisible par y n + i — yn 

 d'aprés 1'équation (5'), la premiere assertion est démontrée. 



Supposons done en premier lieu que y p soit divisible par 5. 

 Si alors a est un nombre pair, la différence de deux nombres quel- 

 conques est divisible par 2 est: 



y n -\-p — y n —p + i = Vp {yn + i — yn) 



est divisible par 10, n étant un nombre quelconque egal ou plus 

 grand que p. La périodicité est done démontrée en ce cas pour 

 les y. Si a est impair et le premier nombre y p divisible par 5 ne 

 Fest. pas par 2, y3 P — i est divisible par y p et par 2 d'aprés 1'équa- 

 tion (24'). Si done on pose Sp — l — pi, y Pl est divisible par 10 et 



y n + Pl — ij n -p x +i = y Pl (yn + i — y n ) 



Pest aussi pour toutes les valeurs de n ;> Pi- 

 D'aprés 1'équation (^5') on a: 



y n + q -f- yn-q = y n (y q +i — y q )- 



Si 1' on pose ici n=p ou bien n — pi on voit que le premier 

 membre est divisible par 10 dans les cas considerés pour chaque 



