1896] Sur les solutions de certaines équations indéterminées. 9 



valeur de q < p ou bien q < pi. La somme de deux nombres, 

 dont l'un est situé de la méme distance du commencement d'une 

 periode que 1'autre est distant de la fin de la méme periode, est 

 done divisible par 10. 



Considérons maintenant le cas ou 1'on ne peut pas trouver un 

 nombre y divisible par 5. Alors la somme de deux y consécutifs 

 est divisible par 5. Si cette somme y$.+ i 4" Vy es ^ aussi divisible 

 par 2, 



Vn+p yn — p — %n yjp -f 1 "f" V v) 



est divisible par 10 pour chaque valeur de n > p et 



Vp + q + Pp-q + 1 = X Q (Vp + 1 + Vp) 



1'est aussi pour chaque valeur de q <^ p. 



Si i/p + i + Vp divisible par 5 ne 1'est pas par 2, y3p + i + \)3v 

 est divisible par y v + 1 -f- y p c'est-å-dire par 5 et aussi par 2 parce 

 que y3 P + i — ysp 1'est d'aprés 1'équation (29'). 



Nous avons done démontré la périodicité du dernier chiirre 

 des y. 



Une périodicité analogue subsiste pour le nombre écrit par les 

 m derniers chriffres des y, m étant quelconque. Cela suit de ce 

 qu'on peut trouver une somme de deux nombres y consécutifs divi- 

 sible par une puissance de 2 aussi grande que 1'on voudra et par 

 une puissance de 5 aussi grande que 1'on voudra. Si en effet y p est 

 divisible par 5, ygp — a est divisible par 25, y^p _ 12 par 125 et ainsi 

 de suit. On peut done trouver un terme dans la serie des y divi- 

 sible par une puissance de 5 aussi grande que 1'on voudra. Si ce 

 terme, y Pl , est divisible par 2, y^ Pl -f- y2 Pl — i est divisible par une 

 puissance de 2 plus élevée d'aprés (6'). yo Pl J ry2p 1 — i est aussi 

 divisible par 2, si y Pi est impair et a est pair, car alors y Pl +i — Upx— 1 

 est pair. Si y Pl est impair et a impair, ys Px — i est pair et divi- 

 sible par y Pl . On peut done toujours trouver une somme de deux 

 nombres consécutifs divisible par 2 et par une puissance de 5 aussi 

 grande que Fon voudra. 



Soit y P2 + i + y P2 cette somme. Alors 



yap* + 1 +- ys P2 = {ypi + i + VpJ (Vp* + 1 — %>,) 



est divisible par une puissance de 2 plus élevée. On peut done 

 trouver une somme de deux nombres consécutifs divisible par 

 y P2 +i -f- y P2 et par une puissance de 2 aussi grande que 1'on 

 voudra. 



Si aucun nombre y p n'est divisible par 5 il y a une somme 

 Vp + i + Vp qui 1'est. Alors ysp + i + ysp est divisible par une 



