10 A. Palmstrøm. [No. 14 



puissance de 5 plus élevée. On peut done trouver une somme 

 y Pl j r i + Upi divisible par une puissance de 5 aussi grande que 

 1'on voudra. Cette somme est paire, si a 1'est. Si a est impair et 

 la somme n'est pas paire, i/3 Pl j rl -\- y 3pi 1'est, et cette somme 

 «st aussi divisible par y Pl + i + y Pl . On peut done aussi dans ce 

 cas trouver une somme de deux nombres consécutifs divisible par 2 

 •et par une puissance de 5 aussi grande que 1'on voudra. On tire 

 de cela les mémes conclusions comme plus haut, et le théoréme est 

 -done démontré pour tous les cas possibles. 



Les proprietés analogues pour les nombres x se dérivent des 

 «équations (20) et (21) qui peuvent s'écrire: 



(a + 2) (x n + p — x n - p + 1 ) = (a — 2) y v (y n + i + y n ) 

 (a + 2) (x n+p — Xn-p) = (a — 2) y n (y p + i + y v ). 



On peut tirer de ce que nous avons démontré, par exemple le 

 «orolaire suivant: Dans la serie des x aussi bien que dans la serie 

 des y on peut trouver, quel que soit a, un nombre, dont le dernier 

 chifire est 1, ce chiffre étant séparé du chiffre significatif le plus 

 prochain par un nombre de zero aussi grand que 1'on voudra. 

 Dans la serie des y on peut trouver un nombre finissant par un 

 nombre des cliiffres 9 aussi grand que 1'on voudra. 



Les nombres x d'une part, les nombres y d'autre forment, con- 



siderés comme fonctions de a, une suite de fonctions de Sturm. 



Les racines des équations x n = 0, y n = sont comprises entre 



— 2 et 2. Cela résulte des équations : 



xi — 1, x 3 = a — 1, x n = ax n — i — x n - 2 

 yi = 1, y 2 = et -f 1, y n = ay n -2 — y n - 2 



•et les suivants que 1'on vérifie facilement: 



.2 (a? — 4) ^— \(2n — 2) a + 2]x n + 2 (2n —1) x n ^ t = 

 2 (a 2 — 4)^— [(2n — 2) a— 2^ y n + 2 (2n — 1) y n - t = 0. 



Considérons maintenant 1'équation: 



Soit xi et yi les plus petites valeurs positives qui satisfont å 

 cette équation. Alors on la peut écrire: 



(4 xl + 4) (ff-4 xl ^y=4. 



