KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 55. N:0 I. 35 



punktes von den gleichnamigen Hauptfokallinien bezeichnen und e' u e' v dieselbe Bedeu- 

 tung im Bildraum haben. Man hat dann 



b, t tgv b.tgu 



"v — 



tgu — tgV tgtt — tgv 



und die entsprechenden Beziehungen im Bildraum. Wird weiter der Abstand einer be- 

 liebigen Fokallinie vom Hauptkreuzpunkt mit m bezeichnet, wobei 



l = m + e u 



zu setzen ist, so känn man die Gleichung IV) in der Form 



, A t + B.m + C x m- A.+ B.m + Cm- TTT . 



V= D 1 + El m ° Em IV a) 



schreiben, wo 



Qo 



A x = 



±b\D\D\{tgu-tgvy 



Bl = D\{\ + tg*u)-D\{\ + tg*v)-Kb\D\Dl*^^^ 



ist, während CE unverändert bleiben und D v den Wert Null hat. Die Systemdiskrimi- 



nante ist dabei 4:A X CE 2 und bleibt somit unverändert gleich Q . 



Wird in dieser Gleichung m als Unbekannte behandelt, so ist das Produkt m 1 m 2 



A 

 der beiden Wurzeln gleich -~, woraus resultiert 



G 



'-min. = 2 ]/ — m l m 2 Z — 2 Vm l m 2 . 



Diese Gleichungen drucken zunächst die schon bewiesene Tatsache aus, dass der 

 Hauptkreuzpunkt in tordierten Systemen auf jeder, in retordierten Systemen auf keiner 

 Orthogonalstrecke gelegen ist, besagen aber dann auch, dass das Produkt der absoluten 

 Werte der Abstände zusammengehöriger KreuzptmJcte vom Hauptkreuzpunkt in tordierten 

 Systemen gleich dem Quadrate der halben kiirzesten Orthogonalstrecke, in retordierten Syste- 

 men gleich dem Quadrate des halben Abstandes der Orthogonalpunkte von einander ist. 

 Da die Orthogonalpunkte Orthogonalstrecken von der Ausdehnung Null darstellen, so 

 folgt als Korollarium, dass der Hauptkreuzpunkt in tordierten Systemen die kilrzeste Ortho- 

 gonalstrecke, in retordierten Systemen den Abstand der Orthogonalpunkte halbiert. 



Zusammengehörige Kreuzpunkte stellen somit allgemein die Punktpaare einer Invo- 

 lution dar, die in tordierten Systemen elliptisch, in retordierten Systemen hyperbolisch ist. 

 Der Mittelpunkt der Involution ist der Hauptkreuzpunkt, und in retordierten Systemen sind 

 die Orthogonalpunkte die Doppelpunkte der hyperbolischen Involution. 



Aus den Gleichungen III) erhält man 



, _ lD x tgutgv' — l v D 2 {l +U'D\ ) = l v D 2 tgv+lD,tgv' 



g( ° = ID.tgu + hD.tgu' ID^l + hPvDD — lvDstgvtgu'' 



