KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 55. NIO I. 49 



chung, in welcher e u e' u Z)f = — 1 zu setzen ist, im letzteren Falle enthält wiederum, 

 wenn tgu = tgu' =00 und D^oo ist, diejenige obenstehende Gleichung, in welcher 

 e v e' v und tgvtgv' vorkommen, nur endliche Grössen, und die Bedingung e v e' v <0 wird 

 auf dieselbe Weise wie bei endlichem Werte des Produktes tgu tgv bewiesen. Der oben 

 hergeleitete Ausdruck fiir die Systemdiskriminante 



Q« =1 , 1+ tgwtgv 



e 2 tg u tg v e„ c'„ Z>; 



lehrt, dass bei tgu tg v > im tordierten System stets e u e' u < ist. Das Vorzeichen dieses 

 Produktes gibt also nur bei tgu tg v < an, ob im tordierten System gleichnamige Fokal- 

 linien auf einer und derselben Systemfläche gelegen sind öder nicht. Dies ist damit 

 gleichbedeutend, dass das Produkt e u e' u bei der Transformation der Systemkonstanten 

 das Vorzeichen wechselt öder nicht, je nachdem das Produkt tgu tg v negativ öder posi- 

 tiv ist. Dies geht auch aus den Transformationsgleichungen hervor, lässt sich aber ein- 

 facher ohne Benutzung derselben beweisen. Da nämlich b bei der Transformation un- 

 verändert bleibt, während b\> das Vorzeichen ändert, so bleibt auch e u unverändert, 

 während e' u das Vorzeichen ändern muss öder nicht, je nachdem der Hauptkreuzpunkt 

 des Bildraums auf der Hauptfokalstrecke gelegen ist öder nicht, d. h. je nachdem das 

 Produkt tg u tg v negativ ist öder nicht. Dass sich das Produkt der Tangenten gleichna- 

 miger Hauptwinkel ähnlich verhält, geht aus der aus den Transformationsgleichungen 

 leicht herzuleitenden Identität 



tg 2 v tg u tg u'„ tg u tg u' = tg u tg v 

 hervor. 



Aus der oben angefuhrten Beziehung und 



s 2 tg u tg v e u 



folgt allgemein 



n u + e u _ 1 + tgtttg p 

 6« € u e ii L) , 



Da nun n u + e u den Abstand der w-Hauptparallellinie von der w-Hauptfokallinie dar- 

 stellt, so ist allgemein bei e u e' u < eine Hauptparallellinie auf derselben Seite der gleich- 

 namigen Hauptfokallinie wie der Hauptkreuzpunkt gelegen öder nicht, je nachdem 

 1 + tg u tg v > ist öder nicht. Es folgt hieraus, dass in tordierten Systemen, in welchen 

 gleichnamige Fokallinien auf einer und derselben Systemfläche gelegen sind, der Fall 

 1 + tg u tg v < angibt, dass der Hauptkreuzpunkt innerhalb, die Hauptparallellinien aus- 

 serhalb der Hauptfokalstrecke gelegen sind, während bei 1 + tgw tg v > > tg^ tg v sowohl 

 Hauptkreuzpunkte wie Hauptparallellinien auf den Hauptfokalstrecken liegen. Dass 

 sich in beiden Fallen die Hauptparallellinien auf derselben Seite des Hauptkreuzpunktes 

 wie die gleichnamigen Hauptfokallinien befinden, wurde oben bewiesen. Ein direkter 

 XJbergang zwischen diesen beiden Formen existiert nicht, da im tordierten System 

 eine Parallelstrecke nicht unendlich klein sein känn. Dementsprechend ist der Fall 

 1 + tg u tg v = unmöglich, worauf schon auf merksam gemacht wurde. 



K. Sv. Vet. Akad. Handl. Band .S5. N:o 1. 7 



