24 A. GULLSTRAND, DAS ALLGEMEIXE OPTISCHE ABBILDTJXGSSYSTEM. 



Uni auch die Formeln fiir die Brechung eines ast i g mat i schen Strahlenbiindels zu 

 finden, hat man die Fundamentalgleichnng in der oben S. 7 deduzierten Form zugrunde 

 zu legen. Es empfiehlt sich dabei, das Vorzeichen der partiellen Differentialquotienten 

 k, nach der oben fiir die Vergrösserungskoeffizienten angegebenen Regel zu bestimmen. 

 Wie aus der Deduktion hervorgeht, hat man dann das untere Vorzeichen anzinvenden. 

 Man hat somit die zwei Gleichungen 



t\ cos co' = K (k l t l cos co — k 2 1 2 sin co) /', sin co' = K u (k t t, sin co — k 3 t t cos co) 6) 



und er halt auf dieselbe Weise je drei Gleichungen 



{t\ — c' t) cos (co' — f' i) = A", [k l (/, — a) cos (co — 'd) — k., [t 3 — a) sin (co — ■;,)) 

 und 



(t' 2 — c i) sin (co' — -fi) = Ki [k< {t 2 — c,) sin (co — ?,) — k z {t v — c,) cos (co — ■;,)) . 



Werden diese sechs Gleichungen mit den Gleichungen 



K K j 1 



C' i COS f'i Ci COS 7; 



multipliziert, und wendet man die verkiirzten Bezeichnungen a ik , a' ik (i — 1, 2, 3; fc = l, 2) 

 nach dem Schema 



""Hcf-f) + t 8T<tg«) a' tl = Kl^,~^(l + tg V ',tgco') 



a,- 2 = (- — t )(1— tgv.cotco) a' i2 — Kl U-- ^ j (1 — tg -/'.cotto') 



an, so erhalten dieselben die Form 



t\ a'i\ cos co' = K u {k t t i an cos co — k-, t 3 a, j sin co) 

 und 



/ a'<2 s >" w ' = K» (k t t., c7 (L > sin co — k 3 /, c/a cos co). 



Aus diesei] Gleichungen werden zunächst mittels der Gleichungen 6) k, und A - : , 

 eliminiert. Das Resultat sind die sechs Gleichungen 



K ,/.',/, cos co d' tl aii K k t t 2 sin ca a',-; c/,, _ 



<\ OOSO)' c,i Oj 2 <'.sinco' an ((,\ 



von welchen Bomil erstere Gruppo oichl /'•.,, letztere nichl t\ enthalten. Werden aus den 

 Gleichungen ersterer Grupps /.-, und /', etiminiert, so ergibt sich untei Anwendung der 

 fruher definierten verkiirzten Bezeichnungen 



a a a a '",d h Q", tg o>') (a a oj C^jj ■ G . tg (./)(«,, -c;,,) 

 (1 i G", tgcu | a„ a tl ) M ; 0', tg to') (o ls -a u ) 



