22 A. GULLSTRAND, DAS ALLGEMEINE OPTISCHE ABBILDUNGSSYSTEM. 



Fiir den in die erste Kategorie gehörenden Fall eines unendlich entfernten Ortho- 

 gonalpunktes, \vo somit d = ist, ergibt die Gleichung Q = teils a=0, teils aber 



auch - - = - und somit 

 a e 



c dx, ce 



x , = oo x 2 - 



ey'-b dy' (et/'-6) 8 



welche Ausdriicke auch direkt aus der Gleichung 4) erhalten werden. 



Es folgt hieraus, dass die den Leitstrahl enthaltenden Tangentialebenen der Sy- 

 stemflächen in einem Punkte, welcher von der Entfernung — oo zur Entfernung + oo 

 verschoben wird, sich stetig in einer und derselben Richtung drehen, und dass die Sum- 

 me der Drehungswinkel beider Tangentialebenen - beträgt. Da sich dabei die eine 

 um den Winkel (3 , die andere um den Winkel ~ — ,% drehen muss, so hängen die beiden 

 Systemflächen im Unendlichen zusammen. Fasst man dieselben auf diesem Grund als 

 eine einzige Fläche auf, so st ellt die singuläre Ebene gewissermassen die andere Sy st em - 

 fläche dar. Bei dieser Auffassung liegen zwei orthogonale Fokallinien, welche durch 

 eine Fokalstrecke von einander getrennt sind, in einer und derselben Systemfläche, 

 während zwei, durch eine Orthogonalstrecke von einander getrennte Fokallinien sowie 

 zwei parallele Fokallinien jede einer anderen Systemfläche angehören. Wird aber von 

 der singulären Ebene abgesehen, so existieren iiberhaupt keine parallelen Fokallinien 

 und nur solche orthogonale Fokallinien, zwischen welchen eine Fokalstrecke liegt. Die 

 Systeme von diesem Haupttypus sollen als halbgedrehte öder semitordierte Systeme be- 

 zeichnet werden. 



Bei der obenstehenden Untersuchung wurde vorausgesetzt, dass keiuer der Ko- 

 effizienten in der Gleichung 4) einen unendlich grossen Wert hat, d. h. dass keine von 

 den bekannten Fokallinien die betreffende Anfangslinie schncidct öder auf derselbeD 

 senkrecht steht. Wird das System willkiirlich gewählt, so lässt sich dics ohne weiteres 

 durch passende Wahl der Anfangslinien erreichen. Wenn nian aber ein bckanntes Sy- 

 stem durchrechnet, so ist es am bequemsten, von zwei Objekt punkten auszugehen, wo- 

 bei C, oo und G\ = oo ist. Die Gleichung 



W.-c^Hl +£ l G , 2 ) = 

 und die ähnliche mit den Indexzahlen 1, 3 ergibt dann 



Q\ l + G t G, 1 + (?,(?, ' 



und inan hal nur die verscliiedcncn Summen, aus welclien die Kocffi/ienton der (Jlei- 

 ehung 4) besteht, mit d\ zu dividieren. Da das Produkt C l 0\ nirgends in denselben 

 VOrkommt, so kommen nur die ( rlieder in Betracht, welche ( \ öder (<\ ent halten, und alle 

 Koctfi/ienten der (ileiehung 4) haben nach Ausfiihrung der Division endliche Werte. 



Dasselbe S^erfahren fiihrt mit den Gleichungen .'{) und 2) eum gleiohen Resultat. 



