KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 55. NIO |. 21 



nung + oo ändert sich zweimal die Drehungsrichtung der Tangentialebene jeder Sy- 

 stemfläche, und der Gesamtbetrag der Drehung einer Tangentialebene ist Null. Die 

 Systemflächen sind somit auch im Unendlichen getrennt, und zwei parallele Fokalli- 

 nien liegen stets in einer und derselben, zwei orthogonale stets jede in einer anderen 

 Systemfläche. Diese Systeme sollen als zuriickgedrehte öder retordierte Systeme bezeich- 

 net werden. 



Dritter Haupttypus. Die Systemdiskriminante ist Null. Die Wurzeln der Glei- 

 chung 5) sind bei c ^ und e ^ 



e cd 



X, = — T 



d 2 e(a — dy') 



und die erste Wurzel gibt einen Ortliogonalpunkt an, da y' einen solchen Wert haben 

 känn, dass beide Wurzeln zusammenfallen. Im Falle c = ist ohne weiteres Q = 0. 

 Die Wurzeln sind dann bei e ^ 



__ ey'-b . 



a — dy 



und der Ortliogonalpunkt liegt somit am Örte der Anfangslinie. Ist endlich e = und 

 folglich Q =4:C 2 d 2 , so erhält die Gleichung 4), wenn in derselben T durch x ersetzt wird, 

 bei y' = =00 die Form dx 2 = 0, woraus hervorgeht, dass beide Wurzeln den Wert Null 

 haben, so dass hierbei immer ein Ortliogonalpunkt am Örte der Anfangslinie liegt. Die 

 Bedingung Q = erfordert in diesem Falle entweder d = öder c = 0. Im ersteren Fall 

 liegt ein Orthogonalsystem vor, da die Gleichung 4) fur jeden endlichen Wert von T, 

 bei welchem der Zähler nicht verschwindet, das Resultat y' = 00 ergibt, im letzteren 

 aber fallen die beiden Orthogonalpunkte des bei Q > retordierten Systems an dem 

 Ort der Anfangslinie zusammen, und die oben f iir c = und e < angegebenen Werte 

 gelten unverändert. Es ist somit immer ein und nur ein Ortliogonalpunkt vorhanden, 

 und dieser stellt zugleich den Kreuzpunkt sämtlicher anderer Punkte des Mediums dar. 

 Da nun allgemein Orthogonalstrecken einander konjugiert sind, so ist dies auch mit 

 den Orthogonalpunkten der beiden Medien der Fall. 



Das System hat also in jedem Medium einen Ortliogonalpunkt, welcher anastig- 

 matisch in denjenigen des anderen Mediums abgebildet wird, und der Ortliogonal- 

 punkt stellt einen singulären Punkt der Systemflächen dar, indem die den Leitstrahl 

 in demselben senkrecht schneidende Ebene als eine diesen Flächen angehörende singu- 

 läre Ebene anzusehen ist, wo jeder Neigungswinkel eine singuläre Fokallinie repräsentiert. 

 Da im Ubrigen jedem beliebigen Werte von y' ein und nur ein reeller Wert von x ent- 

 spricht, so kommt, von der singulären Ebene abgesehen, jede beliebige Neigung einer 

 Fokallinie einmal vor. Die obenstehenden Ausdriicke ergeben entweder 



dx-, - dx^ cd 2 



-, = 



dy' dy' e(a-dy')* 



öder aber 



dx t ea — bd dx 2 



d^y'^{a-dyr dy 1 



= 0. 



