KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 55- NIO I. 19 



Gleichung 4) herleitet, so erhält man die Systemdiskriminante in einer anderen Form, 



welche mit Q' bezeichnet werden mag, und man beweist auf dieselbe Weise wie oben, 



dx' 

 dass der Differentialquotient — ^ stets das entgegengesetzte Vorzeichen der System- 



iX Ju o 



diskriminante Q' hat. Es folgt hieraus, dass Q und Q' stets ein und dasselbe Vorzeichen 



(boc doc 

 haben. Ist wiederum das Produkt — - ■ -^-? gleich Null, so muss entweder Q = sein öder 



dy dy' 



y' einen unendlich grossen Wert haben. Da y' = 2 cot 2 co' ist, so hat man 



d£ = 



cico' sin 2 2 co 



r = -(</ 2 + 4), 



woraus folgt, dass der Quotient des Produktes —-\ • -=-% mit der Systemdiskriminante 



aco rfco 



auch bei unendlich grossem Wert von y' endlich ist, so dass, wenn einer der Differential- 



d ir > t-* 



quotienten ——r verschwindet, dies auch mit Q der Fall ist. Ist auf der anderen Seite 

 a to 



Q = 0, so muss bei endlichen Werten von x in allén Fallen, wo y' nicht den Wert hat, 



welcher 4 = macht, das Produkt —4 • t=-| und folglich auch das Produkt ——i . — -4 ver- 



»2/ »2/ »2/ dy 



schwinden. Da dieselbe Beweisfiihrung betreffs der Gleichung / (to T') = und der 



Systemdiskriminante Q' gilt, so ist stets bei Q = auch Q' = und umgekehrt. 1 



p 

 Schreibt man die Gleichung 4), nachdem T durch x ersetzt worden ist, y' = —-, 



J\. 



so erhält man aus y' = cot co' — tg co' die Gleichung A tg 2 co' + B tg co' — ^4 = 0, in welcher die 



Diskriminante, wenn tg co' als Unbekannte behandelt wird, gleich B 2 + 4 A 2 ist. Wird 



dann der aus dieser Gleichung sich ergebende Wert von tg co' in die Gleichung 3 ) ein- 



gesetzt, so erhält man unmittelbar die Gleichung j(TT') =0 in der nach T' aufgelösten 



Form, und die Diskriminante letzterer Gleichung ist auch B 2 + 4: A 2 . Einem beliebigen 



Werte von T entsprechen somit immer zwei verschiedene reelle Werte von T', welche 



nur dann zusammenf allén können, wenn sowohl dx 2 + ex = wie ax 2 + bx + c = 



ist. Die Elimination von x ergibt hierbei ae 2 — bde + cd 2 = 0, während auf der anderen 



Seite auch bei c = und x = die beiden Wurzeln zusammenfallen. Die notwendige 



und hinreichende Bedingung hierfiir ist also allgemein Q = 0, und es gibt, wenn diese 



Bedingung erfullt ist, iiberhaupt nur ein Paar konjugierter, in einander anastigmatisch 



abgebildeter Punkte. 



Hiermit liegt das nötige Material vor, um die Haupttypen der optischen Abbildungs- 

 systeme zu charakterisieren, obwohl die Detailuntersuchung erst weiter unten, teilweise 

 mit anderen Methoden, ausgefuhrt werden soll. 



Zunächst wird vom Orthogonalsystem abgesehen, welches dadurch charakterisiert 

 ist, dass die beiden Systemflächen in orthogonale Ebenen entarten, wodurch es in zwei 

 Partialsysteme zerfällt, die auf schon bekannte Weise getrennt behandelt werden können. 



1 Dass in der Tat Q = Q' ist, wird weiter unten bewiesen werden. 



