18 A. GULLSTRAND, DAS ALLGEME1NE OrTISCHE ABBILDUNGSSYSTEM. 



Da bei reellem Werte von x auch <\ reell ist, so geht hieraus hervor, dass das 



cl v de 

 Produkt ' \ ■ ,' ; stets das entgegengesetzte Vorzeichen der Svstemdiskriminante hat. 

 dy dy 



Zu demselben Resultat gelangt man durch Differentiation der in der Form 



y'(d + eT)=a + bT + cT* 



gescliriebenen Gleichung 4), wodurch sich eine in T lineare Gleichung ergibt. Die- 

 selbe wird dann nach T aufgelöst und der so erhaltene Wert in die Gleichung 4) einge- 



setzt. Es resultiert eine Gleichung zwischen y und - ^,, welche in ( ^ quadratisch ist, 



fl ii' rlii' 

 und aus deren Koeffizienten das Produkt ;, • ,x, der beiden Wurzeln hervorgeht. 



dl\ dl.. 



Da T = - ist, so ist auch 

 x 



t\T 1 dx 



dy' x- dy' 



wodurch die vollständige tJbereinstimmung kontrolliert wird, indem sich aus der Glei- 

 chung 4) 



c 



Xl * 2 ~ a- dy' 



ergibt. 



fl "V fl V 



Einen unendlich grossen Wert känn das Produkt ' ■ ' ; nur dann annehmen, 



dy dy 



wenn entweder 'J> = Ooder a — dy' ist. Die hierdurch bestimmtcn Werte von // 



entsprechen im ersten Falle den Wendefokallinien des Bildraumes, wähjend ini zweiten 



Fal le ein Wert von x unendlich gross ist. 



In dieser Darstellung sind x x x., die reduzierten Abstände zwei beliebiger, auf ein- 



ander senkrecht stehender, im Objekt raume gelegener Fokallinien, zwischen welchen 



eine Orthogonalstrecke eingeschlossen ist, und denen somit zwei durch verschiedene 



Punkte des Bildraumes gehende, orthogonale Fokallinien konjugiert sind. Wird einer 



\i»n diesen vier reduzierten Abständen als unabhängige Variable betraehtet, so sind 



die anderen drei Funktionen derselben, da, wie oben bewiesen wurde, durch eine belie- 



bige Fokallinie eine in demselben Medium gelegene und eine ihr im anderen Medium 



konjugierte Oithogonalstrecke eindeutig bestimmt ist. Da nun ' dasselbe Vorzei- 



dx., 



chen hal wie das Produkt ,' ' • - f, und wonn x\x.> die redu/ierten Abstände der kon- 



dy dy 



jugierteri orthogonalen Fokallinien im Bildraume darstellen, die Differentialquotienten 



, wie oben bewiesen uiudc, stets positiv sind, so hat nicht nur ' '. sondern auch ' ,' 

 ax dx, dx., 



stets das entgegengesetzte Vorzeichen der Systemdiskriminante. Wenn man aber auf 



der anderen Seite eine (ileiehung zw isehen w und 7" aut dieselbe Weise wie oben die 



