66 A. OULLSTRAND, DAS AI.LGEMEINE OrTISCHE ABBILDUNGSSYSTEM. 



fiir den Torsionswert ini Bildraum. Ausser der letzteren gibt es aber noch eine Relation 

 zwischen den Torsions- und Brechungswerten, die dadurch erhalten wird, dass der Diffe- 



12 I 



rentialquotient , in den beiden Endpunkten einer Fokalstrecke allgemein einen und 



denselben Wert fiir die orthogonalen Fokallinien haben muss. Wird die letzte der oben- 

 stehenden Gleichungen zweimal differenziert und dann £' = sowie w--u)'^0 gesetzt, 

 so ergibt sich 



v 



*(2dt'dto—b'd 2 i»') = cos?jd*t' + 2sinBd*'dea I 

 A i 



wo 



dt' = K\dt dW = —2KlE„dt* doi^O.dt di»' = O' dt 



ist, so dass 



JF = b' (^.eo8p-O a8 inp+ Ri ) 



erhalten wird. Dieselbe Gleichung ergibt bei zweimaliger Differentiation, am bequem- 

 sten naeh 

 setzt wird, 



sten naeh Multiplikation derselben mit coto>', wenn nachher t = 6' w = ,3 w'= ge- 



^;'dH' = - r (6'dV + 2 dt' du' + 2b'tg$diad<o'), 



A, COSp ° 



wo wiederum 



dt' = K\ dt dH' = — 2K\E i dt* du - O, dt dt*' - O dt 



ist, und woraus unter Beriicksichtigung der Identität &'tg3r£to'- A',, /v, sin ,W/ 



l^eosS + O, sin i } 



dt* b' \ l ' ' ~i — r A", 



erhalten wird. Die an Stelle der Gleichungen D 4) in diesem Fallo vorhandeneu Rela- 

 tionen sind somit 



O' = _ K " K l?° 3 p ( E - E t ) cos 3 - (0„ + O, ) sin P + O" A y *' r ' - 0. I ) 4 a) 



O A.,, A , 



Die Gleichungen D 2 a) erfordern bei der Elimination keine so weitläufigen Rech- 

 aungen wie die fiir den allgemeinen Fall giiltigen. Am einfachsten eliminiert man zu- 

 nächst tgoj', dann /, so dass die Gleichung y / (/') resultiert, mil welcher die Haupt- 

 typen der Systeme gefunden werden können; aber fiir die Herleitung von weiteren Glei- 

 chungen sind die Ausdriicke immer noch ziemliefa kompliziert. 



Sind zwei Paare konjuyierter ortltoyonaler Fokallinien bekannt, so ist v -,' - 



und sollen die Abständc c c als Ort hogonalstreoken mit <■,(•', bezeichnel werden. Die 



