68 A. GULLSTRAND, DAS ALLGEMEINE OPTISCHE ABBILDUNGSSYSTEM. 



dieser Grössen aber als Konstante zu behandeln. Die zweimalige Differentiation eines 



Bruches ergibt alleemein, wenn nachher u = gesetzt wird, 

 u 



,„v ud*v — 2dudv 



d- = .— 



u u- 



Wird min bei der Differentiation der Fundamentalgleichung zunächst t 2 als unabhängige 

 Variable betraehtet, so hat man, indem bei eingetretener Orthogonalität t-, — /, = c, 

 ist, 



dv = — c,doi 2 d l v = — c,d*<t>, — 2dt 2 dio, du = — K l K 2 E 2 dt 2 



und erhält 



. c,d a m 2 + 2dt 2 dco 2 2c, E 2 dt 2 doi 1 

 K i a 2 K , K 2 



K K K K 



Nach .Multiplikation mit — |=— - ergibt sich unter Beachtung der Gleichung A ' 2 



c,do) 2 c, aco 2 



^ + 2 ^dt 2 + 2Edt = 



\vo dt'., KV/I, ist. Wird dann £, = gesetzt, so resultiert mit den fur diesen FaU 

 eingefiihrten Bezeichnungen 



P A' 2 



At/ + 2 A— + 2E, = 0. B) 



O, c, 



Auf dieselbe Weise erhält man, wenn /, die unabhängige Variable darstellt, wobei 



dv = c, rfto, d*v = e,d-in { — 2dt l du i du = — K l K 2 E l dt l 



ist, die Gleichung 



A \ '" - 2 A K ° + 2 #,, - 0. C) 



ö„ c, 



Die vollständigen Relationen der zwei konjugierte Paare orthogonaler Fokalli- 

 nien charakterisierenden Grössen zu einander sind somit 



^TSt-o 'k'k,~o *(*.-*$ -*(* + **)■ D4 ") 



uo die letzte Gleichung ans den Gleiehungen A) B) C) erhalten wurde. 



ruter Anwendung dieser Beziehungen lassen sich ans den Gleiohungen D2l>) 

 nicht hut die Gleiehungen //' /(/) und y /(/') sondera auch /(Mgw) uew. her- 

 leiten. Die ans dvn beiden ersteren sieh ergebende Form der Svstemdiskriminante 

 ist i' 1 ()„(),, wo »" ein Produkt von Quadraten reeller Grössen darstellt. In semi- 

 tordierten Systemen ist dieser Ausdruek nieht Null, sondern unendlieli gross und das 

 Gleiohungssystem iiberhaupl nicht anwendbar. Da dasselbe somit nieht als alleemein 



