,KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 55- N:0 |. 101 



beiden ersteren der drei zuletzt angefiihrten Gleichungen und die folgende, schon 

 deduzierte, 



a c 2 = 6 t b 2 b 3 — 6, e' 2 + b 2 e- + b 3 f 2 — 2 e e' f 



geniigen, so ersieht man, dass man, um die Werte von e 2 e' 2 f 2 aus den Koeffizienten der 

 Gleichung 10) zu erhalten, letztere Gleichung, nachdem das Glied 2ee' f allein auf die 

 eine Seite gebracht worden ist, quadrieren muss, wodurch nach Elimination von e 2 und 

 e' 2 eine in f 2 kubische Gleichung erhalten wird, in welcher das Produkt der drei Wurzeln 

 positiv ist, und die somit wenigstens eine reelle positive Wurzel haben muss, aber auch 

 drei solche Wurzeln haben känn. Wenn nun letzteres nicht der Fall ist, so ist allerdings 

 die mit c 4 dividierte Systemdiskriminante eindeutig bestimmt, da das Vorzeichen von 

 eé f aus obenstehender Gleichung erhalten wird, und der betreffende Wert der Sy- 

 stemdiskriminante ausser diesem Gliede nur quadratische Glieder dieser Determinanten 

 enthält. Auch die natiirlichen geometrischen Eigenschaften des optischen Abbildungs- 

 systems sind in diesem Falle bei gegebenem Vergrösserungskoeffizienten der Anfangs- 



linien bekannt, da nur die Quotienten - — bestimmt sind. 



c c 



In Ubereinstimmung hiermit ergibt sich auf folgende Weise eine in Q kubische 

 Gleichung, die ausser dieser Grösse nur die Koeffizienten der Gleichung 10) enthält. 

 Man biidet zunächst einen Ausdruck fur die Systemdiskriminante, welcher ausser den 

 Koeffizienten der Gleichung 10) nur noch a x enthält, und formt auf dieselbe Weise die 

 Gleichung 15) um. Erstere Gleichung wird dann quadratisch, letztere kubisch in a lf 

 und in dem nach a x aufgelösten Werte ersterer Gleichung kommt Q nur unter dem Wur- 

 zelzeichen vor, so dass nach Einsetzen dieses Wertes in letztere Gleichung eine in Q 

 kubische Gleichung resultiert. Wenn in derselben Q = gesetzt wird, so erhält man 

 die entsprechende, ausschliesslich die Koeffizienten der Gleichung 10) enthaltende Be- 

 dingung. Ist diese Bedingung erfiillt, so hat die Kurve f(xx') = einen Doppelpunkt, 

 was bei Q < ausgeschlossen ist, und die beiden ubrigen Wurzeln miissen demnach 

 in diesem Falle imaginär sein. Dass, von Orthogonalsystemen abgesehen, die beiden 

 Tangenten im Doppelpunkte stets einen endlichen Winkel mit einander bilden, wurde 

 schon oben bewiesen. 



Wird die mit x 2 x' 2 multiplizierte Gleichung 10) differenziert, so ist die unmittel- 

 bar resultierende Differentialgleichung linear in x', und man erhält nach Elimination 



(rf y i 

 x — =0. Auf ähnhche Weise lässt sich aus dieser 

 dx> 



(fi m* \ 

 x -^—^\ = herstellen. Beide Gleichungen sind quadratisch in dem 

 ax-' 



betreffenden Differentialquotienten und haben stets reelle Wurzeln. Mit denselben 



K 2 



lassen sich zwar die einem beliebigen Werte von x entsprechenden Werte von — - bzw. 



E direkt berechnen, die Ausdriicke sind aber zu kompliziert, um auf einigermassen iiber- 

 sichtliche Weise behandelt werden zu können. 



Was die Gleichung 11) betrifft, so karm zwar die Systemdiskriminante mit den 



