KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 55. NIO I. 115 



Da — - eine absolute Systeminvariante darstellt, so gilt die Gleichung — - = ^ a) "°° 

 @u C u tg w M „ 



f iir beliebige Anfangslinien. Wenn man die Neigungswinkel von den w-Hauptfokallinien 



aus rechnet und die Winkel ö> o ci> r durch ö> =o>— <ö uoo bzw. durch die analoge, fiir den 



Bildraum giiltige Gleichung definiert, so resultiert hieraus 



Q 



tgö>'o = 7rtg ft) o- 



Die in der unendlich entfernten singulären Ebene verlauf enden Fokallinien sind einander 

 konjugiert, wenn sie senkrecht auf konjugierte, endlich entfernte Fokallinien stehen. 

 Die vollständige Gleichung ist somit 



(C tt tg »'o — C v tg co ) (C v tg (o' — C u tg w ) = 



öder nach Einfiihrung der oben angegebenen Werte 



/(tg*ö> + tg 2 to' ) + (6 3 + b 2 — &,)tgö) tg< = 0. 11 b) 



Diese Gleichung muss also mit der Gleichung 11) identisch sein. Dass dies tatsäch- 

 lich der Fall ist, lässt sich auf folgende Weise ohne allzu weitläufige Rechnungen zeigen. 

 Wird zur Verkiirzung tg to uoo = yj gesetzt, wobei 



tg (0 — fl 



00 1 + Y] tg CO 



ist, und die analogen Werte fiir den Bildraum gelten, so konstatiert man zunächst, dass 



e Y] (1 — r/ 2 ) = b -q r( e' t]' (1 — rf) = b' Y) tj' 



t/ C 

 ist. Unter Anwendung der Beziehung ' = — - und der oben angegebenen Werte findet 



'f\ c u 

 man leicht 



f(ff + r i ' s ) + (b 3 +b 2 -b 1 )-ni = 0, 

 wonach sich aus diesen drei Gleichungen 



ee'(l +n*)(l + r l '*)=T l r l '{bb' — 2b 3 {1> 3 + b 2 -b i )} 



ergibt. Wird die Gleichung 11b), nachdem die Werte von tgco tg<o' eingesetzt worden 

 sind, mit (1 + Tjtgio) 2 (1 + *^ r tg co r ) 2 multipliziert, so ersieht man, dass sämtliche Koeffi- 

 zienten durch \({ teilbar sind, wobei die Quotienten diese Tangentenwerte nicht mehr 

 enthalten, und man känn ohne Miihe konstatieren, dass die Gleichung nach Division mit 

 (1 + r, 2 ) (1 + V 2 ) die Gleichung 11) darstellt. 



Die mit x 2 x' 2 multiplizierte Gleichung 10) ist in afokalen Systemen quadratisch: 



c(x' — x) + b t x' 2 + {b 3 + b., — b l )x'x — b 2 x°- = 0, 10 a) 



