i A. V. BACKLUND, SATZE AVS EINER THEOKIE VON BIANCHI. 



Ich nehme sie daher wieder auf, und obgleicli ich nicht zu einer endgiiltigen 

 Antwort auf sie gelangt bin, hier vielmehr ani meisten mich mit der ersterwähnten 

 BiANCHischen Arbeit beschäftigt habe, glaube ich doch mit dem folgenden einen 

 nicht unwichtigen Beitrag zur Förderung hierher gehöriger Untersuchungen allge- 

 meinerer Art geleistet zu haben. 



Zunächst bemerke ich, dass die Frage eben so vollständig folgendermassen 

 ausgedriickt werden känn: Wenn S\,S'_,, . . . Flächen einer einfach unendlichen Flächen- 

 schar bedeuten, die sowohl unter sich als mit einer anderen Fläche S fest vereinigt 

 sind, und ferner in irgend einer eben so unveränderlichen Weise jedes Flächen- 

 elemente von S mit je einem derartigen Elemente e\,e'., usw. von S\, S' 2 usw. ver- 

 kniipft wird, wann wird es dann geschehen, dass immer, wenn S auf einer beliebigen 

 darauf abwickelbaren Fläche rollt, die Flächenelemente e\, e' 2 usw., die den inomen- 

 tanen Beriihrungselementen e entsprechen, sich zu oo 1 Flächen zusammensetzen? 



Ich spezialisiere jedoch diese Frage bedeutend, indem ich die Flächenelemente 

 von S und *$',- in ihren Beriihrungspunkten mit einer gemeinsamen Tangente als Ele- 

 mente e und e'i annehme, somit also den Zusammenhang zwischen e und e\, e'.~ usw. 

 fixiere. Eine jede auf 8 abwickelbare Fläche ergibt nun, wie auch in den allgemei- 

 neren Fallen, fur die entsprechenden dreifach unendlich vielen Flächenelemente e\, e'., 

 usw. zwei partielie Differentialgleichungen der ersten Ordnung - - und es wird dann 

 nach ihrer [nvolution gefragt. Und hierbei t re t en als besonders bemerkenswert die 

 Fälle auf, in denen fiir alle auf S abwickelbaren Flächen die ihnen entsprechenden 

 Paare von partiellen Differentialgleichungen der ersten Ordnung stets involutorisch 

 werden. Die oben angefiihrte Arbeit von Biancht beschäftigt sich gerade mit einer 

 Frage letzterer Art. 



Ehe ich auf eine Behandlung dieser Fragen eingehe, will ich jedoch nachdriick- 

 lich betonen, dass diejenigen Transformationen von auf 8 abwickelbaren Flächen, 

 die sich hierbei als Transformationen von den Flächenelementen c derselben zu den 

 Flächenelementen e' der neuen Flächen herausstellen, gar nicht, wie die anfangs er- 

 wähnten, durch vier determinierte Gleichungen zwischen den Variablen ~, x, y, p, q, 

 z', .> . // . p ', (/ dieser Flächen auszudriicken sind. 



Erster Teil." 



Hier werde ich die allgemeine Lösung der letzl erwähnten Aufgaben entwickeln 

 und auch eine Anwendung derselben auf eine Frage in der Theorie der auf die Flächen 

 zweiter Ordnung abwickelbaren Flächen geben, die eben zu dem Sat/.e tiihrt, der 

 bei lii\N<iii die Grundlage seiner Theorie dieser Flächen biidet. 



1 Bierunter verstehe ich immer ein Flftchenelemenl (m, t,y,p,q) erster Ordnung. 

 Dieser Teil enth&ll wesentlich dasselbe wie meine in T. 23 Serie III <I<m- Annali di Matematica nnter 

 dem Titel: Vbei eine Transformation von Luigi Bianchi erscbienene Abbandlang. 



