KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 55. N:0 2. 5 



§ I. 



Algebraische Foriiiulierimg uiiserei* Aufgaben. 



1. Unter 8 verstehe ich eine Fläche, die, wie die oben gleichermassen bezeich- 

 nete, irgend eine Schar von oo x Flächen S' lt 8' 2 usw. zum Gefolge hat. Die Punkte 

 auf S fasse ich nun als Schnittpunkte von Kurven zweier auf S verlaufender und 

 einander schneidender Kurvenscharen auf, und wenn dann die Kur ven der einen 

 Schar durch die Gleichung u=C und die der anderen Schar durch die Gleichung 

 v = C vertreten werden wobei C fur ein und dieselbe Kurve ein konstanter Para- 

 meter ist, der aber von einer zur anderen Kurve derselben Schar seinen Wert ändert 

 — so können wir den Punkt auf S' h der im oben angedeuteten Sinne dem Punkte 

 (u v) auf S als Beriihrungspunkt von £',• mit einer der Tangenten von S im letzteren 

 Punkte entspricht, auch als Punkt (ur) auf S'i mit den fiir den ersteren Punkt gel- 

 tenden z/,i;-Werten bezeichnen und werden dann die Kurvenscharen auf S\, S' 2 usw., 

 die den u, v- Kurven auf S entsprechen, durch dieselben Gleichungen u = C,v=C 

 darstellen. 



Wenn hernach x, y, z; x',y',z' Cartesische Koordinaten zweier einander ent- 

 sprechender Punkte (u v) auf 8 und S' bedeuten sollen, so miissen sie, als den zwei 

 Beriihrungspunkten einer gemeinsamen Tangente dieser Flächen angehörend, Glei- 

 chungen folgender Form genugen: 



. t dx dx 



x — x = l -. V in 



ll II il c 



(1) J <>U liv 



ebensowie diesen Gleichungen 



, dz , iiz 



U ('V 



. .. dx , dx 

 x—x I + m - > 

 (I u (>v 



, ,> , dy 1 , d u 



, P 0z' ,nz 

 z — z = V ~. + m -. ■ 

 du (iv 



Die ersten Gleichungen besagen, dass die Gerade (x — x, y' — y, z\ — z) die 

 Fläche S im Punkte (x, y, z), die zweiten, dass sie S' im Punkte (x', y', z') beriihrt. 

 Dabei werden l,m,l',m' Funktionen von u,v, wobei sich jedoch zwei, etwa l',m', 

 ans den beiden anderen ohne Miihe ableiten lassen. 



Weil man nämlich unter Anwendung sowohl der aus den Koéffizienten E, F, G 

 der ersten Fundamentalform von S: 



