KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 55. N:0 2. 7 



Wir sehen hieraus auch, dass stets ist: 1 

 (5) (/) l + D' m) (ni P—IQ) - (D' l + D" m) (m L — J M). 



fn dieser Wéise hängen niui l und m von einander ab. 



2. Die angenommene Fläche 8' mag eine beliebige der Flächen S\ , S' 2 usw. des 

 Gefolges von S sein. Wir unterscheiden die FJächen dieses Gefolges durch ihre 

 Parameterwerte ,"i.,".. usw. Der Parameter der Flächenschar wird hierbei mit ;i be- 

 zeichnet. Wir haben dann die obigen l,m,l',m' als Funktionen von u,v und u zu 

 betrachten. 



Es sei nun 2' eine auf S abwickelbare Fläche, auf der wir 8 rollen lassen. Wir 

 nehmen an, dass 8 keine stetige Verbiegung in sich selbst zulässt. Dann wird jedes 

 Flächenelement e (z, %, y, p, q) von 2 Beriihrungselement zwischen dieser Fläche und 

 >S' in nur einer der Stellungen, die letztere Fläche bei ihrem Rollen auf 2 einnehmen 

 känn. Dem c entspricht dann nur eine einfache Unendlichkeit von Elementen e' 

 (z f , x' , y' , p' , q'), worunter eins der Fläche S\ angehört, ein zweites der S' 2 usw., falls 

 hier unter S\, S' 2 usw. die Flächen des Gefolges von 8 in der erwähnten, dem e 

 und 2 angehörenden Stellung von *S T verstanden werden. 



Setzen wir nun voraus, dass die oo 2 Scharen von einfach unendlich vielen 

 Flächenelementen e', die wir in der genannten Weise aus den oc 2 Flächenelementen 

 von 2 herzuleiten haben, zu oo * Flächen zusammengehen, so werden das offenbar 

 Flächen — ich nenne sie 1\ 2' 2 usw. — die eben so mit 2 als S\,S' 2 usw. mit S 

 verknupft sind. Von den obigen co 1 e', die dem Elemente c entsprechcn, ist somit 

 eins den Flächen S\ und 2\, ein zweites *S' 2 und 2' 2 usw. gemeinsam. Auch gelten 

 fiir S und 2 dieselben Gleichungen (1) mit denselben Werten von l,m,dx/du,dx/dv 

 im gemeinsamen Beriihrungspunkte (x, y, z), vorausgesetzt, dass fiir 2 eds Parameter- 

 kurven u, v diejenigen Kurven auf dieser Fläche gewählt werden, die sich bei ihrer 

 Abwicklung auf S mit den u, v- Kurven letzterer Fläche decken. Öder, könnte ich sä- 

 gen, die beim Rollen von 8 auf 2 hinterlassenen Spuren der u,v-Kurven ersterer 

 Fläche werden als u, v- K ur ven letzterer angewandt. Die ihnen entsprechenden 

 Kurven auf 2\ werden wir als ihre w,v-Kurven bezeichnen. 



Dann finden wir, wie gesagt, im Beriihrungspunkte (x, y, z) zwischen 8 und .2 

 fiir beide Flächen dieselben Werte von l,m,dxfdu,dxjdv,dyjdu usw. In dem ent- 

 sprechenden Beriihrungspunkte (x',y',z') zwischen *$',- und 2',- haben wir dagegen zwar 

 dieselben u, r-YVerte, aber fiir diese Flächen verschiedene Werte von sowohl 0x'/0u 

 als dx'/0v. Das wird auch darum leicht erklärlich, weil fiir 8 und 2 im gemein- 

 samen Beriihrungspunkte die Werte von sowohl D, D', D" als L, M , P, Q verschie- 

 den werden. 



Jetzt gilt (2) fiir sowohl 8 wie ^' als erste Fundamentalform: E,F,G und alle 

 daraus gebildeten CiiRiSTOFFELschen Symbole haben fiir beide Flächen dieselben 

 Werte. Mit der zweiten Fundamentalform (2') verhält es sich änders. Wenn ihre 



1 Ihis ist Gl. (10) in Bianchis o. a. Théorie des Transformations etc, p. 24. 



