14 A. V. BACKLUND, SATZE AUS EINKK THKOKIE VON B1ANCHI. 



6. Unsere zweite Frage betrifft die Fälle, wo vermittelst ein imd desselben 

 Gefolges von $ f -Flächen die Fläche S zu jeder beliebigen darauf abwickelbaren Fläche 

 in der angefuhrten Weise ein gleiches Gefolge von oc ' Flächen 2* liefert. Mit anderen 

 Worten: wann wird unabhängig von den YVerten von D,D',D" die Gleichung (22) 

 von demselben ,-Werte der Form : 



(24) ;* = /(«,»',.«) 



befriedigt? Die Antwort hierauf wird offenbar durch die zwei Gleichungen ^4=0, 

 5 = öder 



d . nVTSG—F' ..lin 



(25) 



d . LIV EG — F- d , .. 1 1221 



gegeben. 



Aus der schon in der Einleitung festgestellten Entstehungsart der den verschie- 

 denen ^ als Umhullungsgebilde von AS"-Flächen zugeordneten Flächenscharen p"') 

 folgt sofort, dass, wenn -i.- n zwei beliebige der auf S abwickelbaren Flächen und 

 (-\), (-u) die ihr angehörigen 2'-Scharen bedeuten, das ^VGefolge von S t bei dem 

 Rollen der letzteren Fläche auf S die *S'-Schar und bei ihrem Rollen auf 2 U die 

 2' n -Schar der letzteren Fläche umhullt. Wenn also fiir 8 und i/tre Haupttangenten- 

 Icurven als u, v-Kurven die Gleichungen (25) eine Lösung (24) gestatten, wird dasselbe 

 fiir jede auf S abivickelbare Fläche und ihre Haupttangentenkurven <tls u, r-K arven 

 zutreffen. 



7. Die obige Kechnung bleibt auch dann bestehen, wenn div S'~Flåchen zu 

 Knrven ausgeartel sind. Die an den Linienelementen der Kurven haftenden Biischel 

 von Flächenelementen (;',.*',//',//, 7') sind hierbei als Flächenelemente dieser S' zu be- 

 trachten. .Jeder Punkt (11 v) auf 8 korrespondiert nur mit einem bestimmten Punkte 



'/,,') jeder &"-Kurve, während dagegen jedem solchen Punkte ($', y\ z') nicht weni- 

 ger als x' Punkte (nr) auf 8 entsprechen, nämlich sämtliche Punkte der Beruhrungs- 

 kurve zwischen S und ihrem Tangentenkegel mit jenem (/,//,:') als Spitze. Die 

 Korrespondenz zwischen den Flächenelementen von S und S' wird jedenfalls bei- 

 derseits eindeutig öder richtiger endlichdeutig. Daraus dass x 1 eine determinierte 

 Funktion von //, v, und demnach auofa //'. : Funktionen der sel ben u,v sind — 

 indem diese y', - Qämlich von den Gleichungen der iSP-Kurve als Funktionen von .<•' 

 gegeben werden daraus schliessen wir auf bestimmte Werte in u und v von 



dtf/du, . . . Oz'/dv und bekommen damil auch fiir diesen Fall sowohl (1), (1'), (.'}), (4) als 

 alle darauf folgenden Gleichungen bis auf die Gleichungen (25). 



