18 a. V. BACKLUND, SÄTZE ALS EINBB THEORIE VON BIANCHI. 



wird ein Streifen : 



völlig bestimmt. 



Es gibt mm, wie bekannt, eine und im allgemeinen nur eine Integralfläche 

 £ = .?(«, v) von (30), der die Wertreihe (31) angehört; d. h. es gibt eine und im all- 

 gemeinen nur eine Kongruenz von Tangenten der Fläclie S, die zu gleicher Zcit eine 

 W-Kongruenz ist und eine gegebene de?- S umschriebene Linienfläche mit einer bcliebig 

 darauf gezeichneten Kurve als Beruhrungskurve mit der zweiten Schah der Brennfläche 

 jener Kongruenz enihält. 



Durch die Gleichungen (32) wird letztere Kurve zusammen mit dem an sie 

 sich anschliessenden, der erwähnten zweiten Schale der Brennfläche der Kongruenz 

 angehörenden Streifen gegeben. 



Eben so wie /, ~q>. X ans /, r/>, X gefolgert wurden, könnten wir die drei letzteren 

 aus den ersteren herleiten. Wir ersehen dainit aus dem eben Bewiesenen, dass durch 

 einen béliébigen Streifen eine und i»i allgemeinen nur eine Fläche gelit, die mil einer 

 beliebig vorgelegten Fläche die Brennfläche einer II' -Kongruenz biidet. 



S war oben die vorgelegte Fläche und der Streifen (32) der beliebig angenom- 

 mene Streifen. 



11. Aus dem letzten Satze folgt, dass eille Flächen, deren mit S gemeinsame 

 Tangenten W-Kongruenzen bilden, durch eine nur von S abhängige partielle Differential- 

 gleichung der zweiten Ordnung im Raume (x' y' z') gegeben traden. 



Denn eine solche Gleichung ist dadurch gekennzeichnet, dass im allgemeinen 

 durch einen Streifen eine Integralfläche zu legen ist, ausgenommen wenn der Streifen 

 fur die l)ifferentialgleichung charakteristisch ist, in welchem Falle oo 00 Integralflächen 

 durch ilin hindurchgehen, öder auch seine Tangenten die fiir die Gleichung charak- 

 teristischen Richtungen haben, ohne dass er die iibrigen Bedingungen einer Charak- 

 beristik erfiillt, in welchem Falle der Streifen fiir keine [ntegralfläche einen ordinären 

 ( Iharakter besitzt.' 



Diese neue Differentialgleichung känn offenbar nichts mehr leisten als die Glei- 

 chung (30). Auch tniissen die Charakteristiken beider mit einander korrespondieren. 

 Diejenigen der Gleichung (30) werden aber einf ach von den Gleichungen du = 0, d t> — 

 bestimmt: die Haupttangentenkurven von S lief ern also die Charakteristiken von (30). 



12. Was die Charakteristiken der entsprechenden in vorhergehender Nr. er- 

 wähnten Gleichung im Raume (.»■'//:') betrifft, so ist von der Gleichung selbsl im 



1 Von den Charakteristiken ist in § 2 meiner Abhandlung: Antvendung von Satsen Uber partielie Diffe- 

 ialgleichungen usw. in Bd. i ( » der Mathematischen Annalen ziemlich eingehend gehandell worden. Dass for 

 einen charakteristischen Streifen die Werte der Löheren Derivierten der unbekannten Funktion \ dorefa gewöhn- 

 liche Rici Gleichungen zu bestimmen waren, habe ich dorl gezeigl ond als Folge davon in Nr. 19 S. 221 



Ibsl hervorgehoben, dass immer zwei durch denselben charakteristischen Streifen bindurchgehende fntegral- 

 flachen in allén Punkten • 1*- ^ Streifens eine Beruhrung pon ganz derselben Ordnung mil einander eingehen. Kine 

 Erweiterung diesi Satzes auf partielie Differentialgleichungen hOherer Ordnung und Raume mehrerer Dimensionen 

 isl auch durch den s :it/ S. ii 1 1 derselben Abhandlung angegeben vrorden. 



