20 A. V. BACKLUND, SÄTZE AUS EINER THEORIE VON B1ANCJIJ. 



inni duss dann auch fiir eine jede auf S abwickelbare Fläche (2), sobald mit den Haupt- 

 tangentenkurven derselben als u, v-Kurven gerechnet wird, die Relation (35) Geltung hat. 1 



Dass jede Fläche von der der Fläche S zugeordneten £'-Schar die Fläche 8 zur 

 Brennfläche einer JF-Kongruenz vervollständigt, ist schon in Nr. 9 angemerkt wor- 

 den und driickt sich durch die Gleichung (30) ans, welche die nächstliegende Folge 

 von (25) ist. Nach dem am Ende der 6. Nr. Bemerkten muss nun von 2 und jeder 

 ihrer oc 1 ^' dasselbe gelten. Wir werden aber bald in Nr. 22 aus Gl. (35) erkennen 

 lernen, dass hier von den 2' noch verlangt wird, dass sie durch Yerbiegungen in ein- 

 ( i inler iibergehen, die aus Verschiebungen ihrer Punkte parallel den Normalen von 2 in 

 den entsprechenden Punkten zusammengesetzt sind. Aus der dritten Gleichung (33) 

 folgt ferner, dass im Beriihrungspunkte zweier S' und 2' die absolute Krummung f' bei- 

 der Flächen dieselbe ist, weil nämlich im entsprechenden Beriihrungspunkte von S 

 und 2' dies mit ihrer Krummung q der Fall ist. Später in Nr. 26 werden wir hier- 

 aus den Satz folgern, dass, ebensowie alle S und 2 auf einander, auch alle S' und 2' 

 a a j einander abivickelbar sind. 



In Betreff der ^'-Flächen, die zu Kurven ausgeartet sind, habe ich in Nr. 7 

 angemerkt, dass auch fiir sie die allgemeinen Formeln unverändert bestehen bleiben. 

 weil nämlich die Korrespondenz zwischen den Flächenelementen einer jeden solchen 

 S' und denen von S dennoch eindeutig (endlichdeutig) ist. Aus dem kursivierten 

 Satze in Nr. 12 folgt dann, dass auch jetzt bei jeder zur Kurve ausgearteten $' die 

 zwei Streifenscharen der Fläche 8 längs ihren Haupttangentenkurven eindeutig mit 

 zwei Scharen derartiger Streifen dieser S' korrespondieren, das aber hiesse mit oo 1 

 Streifen, welche die Kurve 8' oskulieren und demnach ihrer Tangententläche ange- 

 hören. Die *S'-Kurve miisste dann in jedem Punkte oo 1 oskulierende Ebenen besitzen: 

 iillc in Nr. 7 erörierten S' milssen demnach gerade Linien sein. Die an den Elemen- 

 ten ds einer solchen *S"-Geraden haftenden Biiscliel von Flächenelementen setzen sich 

 in beliebiger Weise zu Streifen der erwälmten Art dieser 8' zusammen. 



14. Wenn 8 eine Linienfläche ist, besteht die eine Schar ihrer Haupttangen- 

 tenkurven aus den erzeugenden Geraden derselben. Es sei dies die Schar r=C. 

 Weil diese Kurven zugleich geodätische Linien sind, wird 



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und die Gleichung (30) hal dann ein vollständiges erstes Entegral, durcli welches sie 

 ersetzl werden känn, aämlich das [ntegral: 



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1 Letzterea aacli dem kursivierten Satze in V. 6. 



