KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 55- N:0 2. 23 



vorgelegt. Durch die u, v-Parameter ihrer zwei Geradenscharen driicken sich die 

 x, y, z-Koordinaten ihrer Punkte wie folgt aus: 



, „. 1 + UV ,M — V 1 — UV 



(42) x = a— — ,y = o — ■ — ,z = c ■ 



u + v u + v u + v 



Die Formeln der vorhergehenden Nr. werden nun auf die Frage angewandt: 

 Gibt es fiir das Hyperboloid eine zu Geraden ausgeartete S'-Schar von der in Nr. 6 ange- 

 gebenen Art? 



Hierfur wird es ebenso nötig wie hinreichend, dass die £ f -Schar sowohl Glei- 

 chungen : 



-o> 



(43) x 1 = az' + y, y' = (lz' + 6 



als auch die Bedingungen (39) und (40) öder (40') erfiillt. 



Durch Einfiihrung der Ausdriicke (1) fiir x', y', z' in (43) bekommen wir zunächst: 



idx dz\ Id x dz\ 



x — az — y + th " t - + m t « t— =0. 



\ifu ouf \(i v av) 



y — (iz — d + Urf- — ji ^-) + m M — B -- = 

 J ' \öu dv) \()v ' <)v' 



und dann mit Hiilfe von (42) fiir l und m die Werte: 



l== u + v bc a — ad)(u 9 -—l) + (ab — c(ad — jiy)) (u- + 1) — 2(ac(f + by) u 

 2 ab (1 — uv) — bcu(l + uv) — ac t j(u — v) 



_ u + v (bcu + ad) (v 2 — 1) + (ab + c {u ö — ,i y)) [v* + I) + 2(ac8 — by) n 

 2 ab (l — uv) — bcu ( 1 + uv) — ac(i (u — v) 



Die Gleichung (39) wird also — und sogar unabhängig von den besonderen Werten 

 der Konstanten a,8,y,S — erfiillt. Es ergibt sich nämlich: 



■; = l: m== U(u):V(v), 



wenn zur Abkiirzung gesetzt wird : 



U ^(bca-ad)(u° — 1) + (ab — c (ad — Sy)) (u s + 1)— 2(ac t i + by)u, 

 V = (6c« + ad)(v*— 1) + (ab + c(aö — Sy))(v 2 + 1) + 2 (ac8 — by) v . 



Ich biide jetzt die Gleichung (40'). Unter Beriicksichtigung des obigen Wertes 

 von 5 und der in Xr. 4 hergeleiteten Werte von * > folgern wir ans (19): 



ydU_ TJ 0V 



A"- 2 ^>}L^JhL . lV {u) _ r {v) _ TJ d j gVg + v 9 , g^ 



F "» ° VEG — F* < J v VEG—F- 



