28 A. V. BACKLUND, SÄTZE AUS EINER THE0R1E VON BIANOHI. 



§ iv. 

 Allgemeines äfoer auf einander abwickelbare Flächen. 



16. Wir denken uns eine Fläche und einen Streifen gegeben und stellcn uns 

 die Aufgabe, durch den Streifen eine Fläche zu ziehen, die auf die gegebene Fläche 

 abwickelbar wird. Die gegebene Fläche bezeichne ich mit F, den gegebenen Streifen 

 mit (t), die Punkte seiner Leitkurve mit a, a', a", . . . und seine geodätische Kriimmung 

 in diesen Punkten mit bez. g,g',g", . . . Auf F nehme ich ganz beliebig einen Punkt 

 an, den ich A nenne, ebenso eine durch diesen Punkt gezogene Tangente und auf 

 ihr unendlich nahe an .4 einen Punkt A', der also in erster Annäherung als der 

 Fläche F angehörig zu betrachten ist. Ich nehme weiterhin die Punkte a, o', a",. .. 

 als konsekutive, einander unendlich nahe folgende Punkte der Leitkurve von (/) an 

 und setze dann A A' = a a 1 . Es gibt nun ein Linienelement A' A" von F, das zusam- 

 men mit A A' denjenigen Flächenkurven gemeinsam ist, deren geodätische Kriimmung 

 in A gleich g wird. Nachdem wir die Richtung der Drehung auf F von .4'.4"nach 

 .4^4', die wir als positiv zählen wollen, fixiert haben, finden wir mit gehöriger 

 Rueksicht auf das Zeichen von g die Richtung von A' A" eindeutig bestimmt. Ich 

 wähle ferner die Länge von A' A" gleich der von a' a" und fiige nachher in ähnlicher 

 Weise zu dem Linienelemente A' A" ein Linienelement A" A"' von F hinzu, das ich 

 in derselben Länge wie a" a'" und in solcher Richtung nehme, dass es mit A'' A' und 

 A' A zusammen einer Flächenkurve angehört, deren geodätische Kriimmung in .4 

 gleich g und in A' gleich g' wird. 1 In genau derselben Weise weitergehend leiten wir 

 schliesslich einen unzweideutig bestimmten Streifen (s) von F her, der in den Punk- 

 ten A, A', A",... seiner Leitkurve dieselbe geodätische Kriimmung hat wie der gege- 

 bene Streifen (/) in den korrespondierenden Punkten a, a', a",... und zugleich diesel- 

 ben Bogenlängen AA' t A'A",A"A'" t ... wie die korrespondierenden aa',a'a",a"a'",. . . 

 der Leitkurve von (t): der Streifen (t) wird dann auf den Streifen (s) der Fläche /•' 

 abwickelbar, indem nämlich jetzt beide auf ein und dieselbe Ebene so abgewickelt 

 werden können, dass dabei ihre Leitkurven zusammenfallen." 



Durch infinitesimale längs F vorgenommene Yerschiebungen AB, A' B' , A"B",. . . 

 von den Punkten A, A', A",... der Leitkurve des Streifens (s) kommen wir zu einer 

 unendlich benachbarten Kurve B B' B" . . . derselben Fläche. Geset/.t nun es vvären 

 E,E',E",... die Flächenelemente von (a), die an bez. den Linienelementen .1 I ..I I ". 

 I .1'",... häften, und II wiire in E, B' in E' , B" in /*,"' usw. gelegen. Die korre- 

 spondierenden Flächenelemente \on (/), die durch aa',a'a",a"a'",... usw. hindurch- 



1 Weim «", die Projektion von a" auf das am Linienelement oo 1 haftende Flacheneleinenl des Streifens 

 [t) bedeutet, bo hal man die geodAtische Erommang g gleich dem Supplements des Winkels aa'a" u und wenn 



i , die Projektion von A" auf die Tangentenebene der Plache Fim Punkte .1 bedeutet, so wird die geodätische 

 Krömmung in .1 der Flächenkurve AA'A"... gleich dem Supplemente des Winkels A A' A \ ond damil 

 hOchstens gleich der absoluten Kriimmung derselben Flächenkurve in .1 



2 Dann haben wir die Btreifen als Teile von Developpnblen behandelt. 



