30 A. V. BÄCKLUND, SATZE AUS E1NER THEORIE VON BIANCHI. 



der Kurve b b' b" . .. haftenden Streifen, der in den Punkten b, b', b",... dieselbe geodä- 

 tische Kriimmung besitzt wie die der Flächenkurve B B' B"... öder des ihr angehöri- 

 gen Streifens von F in den entsprechenden Punkten B , B' , B" , . . . Diese neuen Streifen, 

 (/') und («') mogen sie heissen, sind hier in derselben Weise auf einander bezogen wie 

 die ersten (/) und (s), und wir liaben dann aus ihnen auf neue Bänder und neue 

 Streifen (/") und (s") — den letzteren auf F zu schliessen, die mit den vorher 



gewonnenen vereinigt liegen und auf einander abwickelbai werden. In dieser Weise 

 kommen wir schliesslich zu einer aus (/), (/'), (t"), . . . zusammengesetzten Fläche, die 

 (nach dem Ubergang zur Grenze) auf F abwickelbar wird. 



Dieselbe ist aber nur eine von unendlich vielen der auf F abwickelbaren Fläcken, 

 die durch (/) gehen, wie aus dem obigen ohne weiteres erhellt. Denn es war sowohl 

 der Punkt a beliebig auf der Leitkurve von (/) als der Punkt A beliebig auf der 

 Fläche F und .4.4' beliebig unter den von A ausgehenden Linienelementen dieser 

 Fläche gewählt. Aber durch die Jiicran sich schliessen den Bedingungen, dass die frag- 

 Jiche Fläche den Streifen (t) enthält und so auf F abgewickelt werden hann, dass sich 

 ddbei ein willkiirlich genommenes Bogenelement der Leitkurve ron (t) mit eincm ebenso 

 willkiirlich genommenen Bogenelemente derselben Länge von F genan deckt, wird — von 

 dem Falle abgesehen, dass die FläcJienelemente von (t) in den Sch m i eg ungsebenen der 

 Leitkurve liegen — die fragliche Fläche unzweideutig bestimml. Dass z. B. die Richtung 

 von AB fur die Konstruktion von (/') unwesentlich ist, wird aus der ersten Gl. (48) 

 leicht ersichtlich. 



Die eben bestimmte Fläche, die durch (t) geht und auf F abwickelbar ist, 

 bezeichne ich mit F x . Die Leitkurve aa'a"... von (t) ist zugleich Leitkurve eines 

 zweiten »Streifens (!{}, der in Bezug auf die Schmiegungsebenen jener Kurve öder ihre 

 Tangentenfläche symmetrisch zu (/) als dessen Spiegelbild auftritt. Dieser Streifen, 

 (/j), hat ganz dieselbe geodätischc Kriimmung in «,«',«",... wie es mit (/) der Fall 

 ist. Die Kurve A A' A"... auf F spielt somit fur (/j) dieselbe Rolle wie fur (/), so 

 dass sie neben der Fläche 7 V ', durch (t) eine Fläche F 2 durch (/,) ergibt, die ebensow r ie 

 l'\ auf F abwickelbar wird. Der Fall ist offenbar nicht ausgeschlossen, dass (t) und 

 (/J in eins zusammenlaufen, 1 so auch dass F x und F 2 mit einander eine einzige Fläche 

 bilden. Streifen (t) durch aa'a" . . , die unendlich nahe der Tangentenfläche von a a' a" . . . 

 verlaufen, verlaufcn auch ihren Spiegelbildern in Bezug auf diese Fläche unendlich nahe, 

 und so geschieht es, dass man beim t)bergang zur Grenze zu Flächen b\ und F % kommt. 

 von denen man findet, dass sie entweder längs der Kurve a a' a" ... die Tangentenflåchi 

 der letzteren beriihren, öder dass diese Kurve eini Kuspidalkurve fur sie wird. lm 

 ersteren Falle wird aa'a"... eine gemeinsame EJaupttangentenkurve sogar fiir oo " auf 

 /•' ,-d)\\ ickelbare Flächen, \\ as auch damil zusammenhängt, dass hier der Streifen, dessen 

 Flächenelemente jetzl In den Schmiegungsebenen der Leitkurve liegen, als [nbegriff 

 von x " J gewöhnlichen Streifen anzusehen ist. 2 



1 d. Ii. Teile eines and desselben um die Tangentenfläche von aa'a"... symmetriscb liegenden Streifens 

 machen. 



Die liier erörterten Satze findet man zum Teil näber begrOndel bei Darboi i in t. Ill Beiner Legons 

 $w la théorie générale des surfaces and bei Biani in in ij L09 seiner Vorlesungen iiber Differentialgeofnettie 1 1910). 



