34 A. V. BÄCKLUND, SÄTZK AUS E1NER THEORIK VON BIANCHI. 



wickelbare Fläche hindurchgeht, aber auch nur eine solche Fläche. welche so mit (53) 

 korrespondiert wie es durch (54) vorgeschrieben ist, so folgt, dass auch diese Flächen 

 sämtlich aas einer derselben durch Rotationen um die z-Achse und Translationen 

 senkrecht zu dieser Achse hervorgehen miissen, und dann auch, dass in den ent- 

 sprechenden Gleichungen von der Form (51) fur die Korrespondenz ihrer Punkte 

 mit denen der Fläche F die Gleichung fiir x: 



(63) x = f(u,v) 



ritten gemeinsam sein muss. 



Dieser Wert von x muss daher einzig von der Annahme (62), also von der Wahl 

 der Funktionen T , .Q und U abhängen. Es waren aber T, ii, U Funktionen allge- 

 meinster Art von v und sind daher beliebig zu wählen. Wir miissen hieraus 

 schliessen, dass bei gegebener Fläche F und gegebenen darauj gezeichneten Kurvenscharen 

 u,v alle möglichen x-Werte {63), die zu Flächen gehören, die au] F abgewickelt iverden 

 Lim nen, Integrale ein und derselben partiellen Differentialgleichung ziveiter Ordnung mit 

 u, v als unabhängigen Variablen werden miissen. 



Jedes Integral dieser Gleichung stellt, wie gesagt, einen möglichen sp-Wert dar. 

 Die einem solchen cc-Werte zugeordneten y- und z-Werte einer Lösung (51) miissen 

 auch Integrale derselben partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung werden. 

 Dies geht aus der Symmetrie der Gleichungen (50) in Bezug auf x, y, z sofort hervor. 

 Diese Gleichungen fuhren aber auch zu Vereinfachungen des zu der Bestimmung von 

 y und z nötigen Integrationsverfahrens, wenn x bekannt ist. 



Die erwähnte Gleichung 2. O. findet man in Bianchis Differentialgeometrie 

 (1910) S. 115 unter der Form: 



x u x„-x}i=K{BQ-f*){\- /,.r), 



vvobei mit K die Kriimmung von F im Punkte (v v) bezeichnet ist. Diese Gleichung. 

 u ui de dort fast unmittelbar gefolgert zuui Teil aus dem GAUSSschen Sat/.e iiber die 

 bei jeder Verbiegung der Fläche unverändert gelassene Kriimmung derselben. zuni 

 Teil aus den hier anfangs in Nr. 1 zitierten Gleichungen: 



d*x \u\0x \]\Ux 



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