KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 55- NIO 2. 35 



(Bianchi a. a. O. S. 114), und endlich der mehrmals angewandten Gleichung der 

 Kriimmung K: 



DD" — D' i = K(EG — F 2 ). 



Dem eben erwähnten GAUSSschen Satze zufolge muss das Kriimmungsmass der 

 Fläche F im Punkte (u v) der Kurve (53) zugleich Kriimmungsmass der gesuchten auf 

 F abwickelbaren Fläche im korrespondierenden Punkte des Streifens (52) iverden. 



19. Ich setze weiterhin voraus, dass F keine Verbiegung in sich selbst zulässt. 

 Dann wird die Beziehung ihrer Punkte zu denen einer darauf abwickelbaren Fläche 

 eindentig. Jedem Streifen von F wird also eindeutig ein Streifen einer beliebigen 

 auf F abwickelbaren Fläche 2 entsprechen, so dass dann auch F in der Weise ins 

 Rollen auf 2 versetzt werden känn, dass sich dabei ein Streifen von F auf den ent- 

 sprechenden von 2 abwickelt. Und nur auf solche eindeutig bestimmte Weise könnte 

 F längs eines gegebenen Streifens von ^ rollen, wenn sich dabei jedesmal alle oo * im 

 gemeinsamen Beriihrungselemente der Flächen enthaltenen einander entsprechenden Li- 

 nienelemente beider decken wiirden. Die Kriimmung der Flächen wiirde immer fiir 

 beide im momentanen Beriihrungspunkte dieselbe sein. 



20. Of f enbär miissen die Kurven der Länge Null beider Flächen einander ent- 

 sprechen. Wenn umgekehrt fiir zwei Flächenstiicke eine solche eindeutige Korrespondenz 

 ihrer Punkte bekannt ist, bei der die Linienelemente der Länge Nidl der Flächenstiicke 

 einander entsprechen und die Kriimmung beider Stiicke in entsprechenden Punkten den- 

 selben Wert hat, so ist zu folgern, dass das eine Stuck auf das andere abwickelhar ist. 

 Denn wenn die zwei Kurvenscharen von der Länge Null auf dem einen wie dem 

 anderen Stuck als Parameterkurven u, v bez. u', v' angenommen werden und demge- 

 mäss fiir die Linienelemente ds, ds' der beiden Stiicke die Ausdriicke gelten: 



ds 2 = F(u,v)dudv,ds' 2 = <I>(u' ,v')du dv . 

 so wird es in dem Falle dass 



v ' FOuOv 6 fl) du' öv & 



ist, ennöglicht, durch eine Transformation: 



(b) u' = f(u), v' --= (f(v) öder u = (p(v), v' = / (u) 



ds 1 in ds' 2 iibergehen zu lassen. Unter der Voraussetzung (a) ist es nämlich gestattet, 

 die Funktionen / und (p in den Gleichungen (b) so zu bestimmen, dass 



(c) F = fJ)f'(u)<f'(v) 

 und denmach 



(d) Fdiidv = fDdu'dv', 



