36 A. V. BÄCKLUND, SÄTZE AUS EINEK TIIEOKIE VON BIANCHI. 



also identisch 



ds* = ds' 1 

 wird. 



In (b) sehen wir die einzige Form einei Korrespondenz der K ur ven der Länge 

 Xull, in (c) die notwendige Bedingung fiir die Gleichheit (d) und in (a) die Bedingung 

 fiir die .Möglichkeit von (c). 



Das linke Glied von (a) ergibt das Kriimmungsmass des einen Flächenstiieks 

 im Punkte (u v), das rechte Glied derselben Gleichung (a) dasjenige des anderen 

 Flächenstiicks im Punkte (u' v). 



Den vorstehenden hiermit dargelegten Satz werde ich demnächst fiir bandför- 

 mige Flächenstiieke verwerten. 



§ V. 



Charaktere der durcli die Oleichuiigeii (17), (18) und (3">) ans einer FIKche 

 S und den darauf abwickelbaren Fläclien - lierzuleitcnden 



neuen Fläclien S' 9 - . 



21. Wie im ersten Teile dieser Abhandlung verstehe ich auch hier unter S eine 

 Kläche, der eine solche Schar von oo 1 Fläclien zugeordnet ist, die im Verein mit 8 

 die Forderung (35) in Nr. 13 erfiillt. Die Fläclien dieser Schar will ich der Reihe 

 nach mit 8'i,8' 2 ,... bezeichnen und analytisch durch ihre Parameterwerte unter- 

 scheiden. Unter ;i l öder einfach u bezeichne ich den Parameter von S' } , unter ,/< L , 

 öder besser fi + dfi denienigen von S' 2 . 



Die Punkte von S und S'i stelle ich iibrigens auf die in Nr. 1 angegebene Weise 

 so mit einander zusammen, dass ich jedesmal die Beriihrungspunkte einer gemein- 

 samen Tangente dieser Fläclien als korrespondierende öder sich entsprechende Punkte 

 auffasse. Demgemäss betrachte ich auch die Kurvenscharen auf 8\, 8' 2 , . . , die den 

 Parameterkurven u = C,v = C auf S entsprechen, als Paranieterkurven u = C, r = C 

 jener Fläclien. Als Punkt (uv) mit fixierten Parameterwerten C , C' tritt einer auf 

 jeder der Flächen S, S\, S'.,, . . . auf. Die auf S' u S' it . . . entsprechen hierbei dem 

 auf S. Fiir die Cartesischen Koordinaten ersterer Punkte gelten dann Ausdriicke 

 der Form : 



- > f(u, v, u), y =q>{u,V,n), z' = \p(u, r, u), 



wobei fiir dvn Punkt auf .s", ii gleich ,«, zu setzen ist. fiir den auf S' a gleich p a , usw. 



Wir wissen min, dass S\ einer Verbiegung fähig ist, die aus infinitesimalen 



Verschiebungon ihrer Punkte besteht, welche <\on Normalen von 8 in entspreohenden 



Punkten paralie] laufen. Das wird eine Transformation vom Punkte (./■',//,-.') zuin 

 Punkte (/ i i)x',i/ i <)y', z' + <)z') der Form: 



(64) A.'' e'Xdfi,åy' e'Ydn,dz' i'Z<lu, 



