42 A. V. BÄCKLUND, SÄTZE AUS E1KER THE0R1E VON BIANCHI. 



24. Weil jetzt du = dldu/dX ist, muss nach (74) auch sein: 



<' " t du . 

 76) .-^du+-.-dv = 0, 1 



' du dv 



und hieraus haben wir zu schliessen, dass die zvvei &', die, wie bei den Gleichungen 

 (17), (18) angenommen ist, die Fläche 2\ in den zwei Punkten {uv), (u + du, v+ dr) 

 beriihren, 2 ganz denselben Parameterwert u besitzen und darum ein und dieselbe S\ 

 in nur zwei verschiedenen Lagen darstellen, die offenbar mit den zwei Lagen der 

 Fläche 8 verkniipft sind, in denen diese die 2 in den entsprechenden Punkten (uv), 

 (u + du,v + dv) beriihrt. Aber nur durchs Rollen auf 2' känn S von der ersten zu 

 der zweiten dieser Lagen kommen, denn nur im Rollen auf 2: in einer öder der an- 

 deren Richtung känn die fiir (17), (18) als möglich gedachte Bewegung von S be- 

 stehen. Mit S ist S\ fest vereinigt, und deshalb känn auch S\ von der ersten 

 zu der zweiten ihrer eben erwähnten Lagen nur durch Rotation, und ganz dieselbe 

 Rotation, die S hat, gelangen. Als die fiir S und S\ gemeinsame Rotationsachse 

 fungiert hierbei die fiir 2' und 2\ gemeinsame Tangente, die die zvvei auf diesen 

 Flächen mit einander korrespondierenden Punkte (uv) verbindet. 



Die Werte (17), (18) [öder (13'), (14')] von du/du, du/dv geben der Gleichung (76) 

 die Form: 



(77) [( D — D„) 1 + {D'- D\,)m] du + [(D' - D' ) l +■ (D" — D'\) m)dv = , :i 



unter der wir sie im vierten Teile des grossen Werkes von Darboux: Legons sur la 

 théorie générale des surfaces (1896) art. 931 als Gleichung (30) ' wiederfinden. Die 

 nachstehende Erörterung nimmt von dieser Formel Siren Ausgang. 



25. Wenn in der Gleichung (77) fiir /, ni ihre den gemeinsamen Tangenten 

 von 2 und 2', angeliörenden und durch solche Gleichungen wie (1) zu bestimmenden 6 

 Werte angewandt werden, so tritt jene Gleichung als Differentialgleichung einer 

 besonderen Kurvenschar auf 2 und der damit korrespondierenden auf 2', auf. 



Mit 8 y , s 2 , 8 S , s 4 usw. bezeichne ich die verschiedenen Kurven der ersten, mit 

 *'i, Sj, *':;, 8 '', usw. die entsprechenden der zweiten Schar und weiss dann ans dem vor- 

 hergehenden, dass, wenn S auf 2' längs einer der ersten Kurven, etwa <?,. rollt, immer 

 eine Fläche der S "-Schar, etwa S\, auf 2\ längs der entsprechenden K ur ve s\ rollt, 

 und dass weiter S' 2 , S' :i usw. auf 2", längs s'., s r 3 usw. rollen, wenn $ auf 2 längs 

 y,, 8 Z usw. rollt. 



1 llicr wie oben in (74) mit don Werten (17), (18) von du/du, du/dv gerechnet. 

 1 Bierfar gilt selbstverBtandlich ebenfalls die Gleichung (74), aber mit dX 0, 



' : In (17), 118) D, .D" -0. 



1 Iii dieser Gleichung l >n statt du/dv gesetzt. 



•'■ Dann sehen wir for 2 die Gleichungen a; F(tt,t>),y-=d)(u l t>),jer«o , f r (u l v) 1 for 2\ die Gleichung 

 / 1 /■' . //' . z. o ali bekannt un, zieheu aber uebsi (1) auch die Gleichungen: 



f Q . ( X < _ X) f ( X <) + { y< _ y } f y) | </ - g) f | : ' , Q 



in Rechnung, 



