44 A. V. BÄCKLUND, SÄTZE AUS EINER THEORIE VON BIANCHI. 



dass die letztenvähnten Flächen S' auf den Bändern {s\), (s' 2 ), (s' 3 ), . . . rollen, wenn 

 S längs s u s it s 8 » • • • au ^ - rollt. 



Nun sind aber 8' it S' a , . . . auf S\ abwickelbar. 1 Darum werden auch die auf 

 jenen Flächen abgewickelten Bänder (6' 2 ), (fi' 8 ), . • . auf S\ abwickelbar. Mit [s'\~\, [s"\] 

 usw. 2 will ich ihre nach solcher Abwicklung eingenommenen Lagen auf S\ bezeichnen 

 und behaupte, dass [s"^ unmittelbar an [s\], [s''\] unmittelbar an [s'\] usw. stossen, 

 so dass sie insgesamt ein zusammenhängendes Stiick von S\ bilden. 



Wenn nämlich zwei benachbarte von diesen Bändern zwischen einander eine 

 Liicke frei Hessen, könnten wir diese durch Verkleinerung des Differentiales du weg- 

 schaffen, stiessen aber dann auf einen Kreuzungspunkt der Bänder. Dieser wiirde 

 jedoch nur von einem Flächenelemente von 2\ herrii liren können, das Kreuzungsele- 

 ment zweier benachbarter Bänder (s r ,), (s' k ) wäre und dabei zwei benachbarten Flächen 

 S'i, S' h angehörte, die dort auch dasselbe Kriimmungsmass besässen. Besondere Fälle 

 ausgenommen wiirden diese beiden S' ein und derselben Lage von S zugeordnet sein. 

 Wir nehmen aber an, dass unter den oo 1 ^' niemals zwei benachbarte einander be- 

 riihren, und die Möglichkeit eines Kreuzungspunktes je zwei unendlich benachbarter 

 von den [s"'i\ ev. einer Liicke zwischen ihnen, ist dann ausgeschlossen. 



Von dem hiermit als kontinuierlich erwiesenen, aus den Streifen [s\], [«",], [s"\] 



zusammengesetzten Stiick von S\ gilt nach dem vorhergehenden, dass es Punkt fiir 

 Punkt mit einem aus Streifen (s\), (s' 2 ), {s' 3 ), . . . zusammengesetzen Stiick von 2', der- 

 art iibereinstimmt, dass in entsprechenden Punkten die Linienelemente der Länge 

 Null von beiden einander entsprechen und das Kriimmungsmass fiir beide denselben 

 Wert bekommt. 3 Aber dann folgt ans Nr. 20, dass diese Flächenstueke auf einander 

 abwickelbar sind, und da in der Tat jeder Teil von 2\ seiner Definition nach durch 

 Streifen ($<) erzeugt ist, so darf man einfach sägen, dass S' t auf S\ abwickelbar ist; 

 öder also: 



Alle Flächen S' und 2', erstere oo ', letztere oo 00 , werden auf einander abwickelbar. 



27. Fiir die somit auf einander abwickelbaren 2', und S\ bilden wir eine 

 Gleichung, die fiir sie dieselbe Bedeutung hat, wie die Gleichung (77) fiir ^ und S 

 hatte, nämlich diese: 



(78) [(D-D l) )l' + (D'—D f () )m']du + [(D'~D' )l' + (D"-D\)m']dv = O > 



wobei jetzt D,D',D"; D , D' , D" den Flächen 2', bez. S\ angehören und fiir V, m' 

 ihre fiir die gemeinsamen Tangenten von 2' t und 2 geltenden Werte anzuwenden 

 sind. Die Tntegrale dieser Gleichung ergeben dann die Kurven auf 2' lt längs deren 

 s\ im Rollen auf 2\ begriffen sein känn und wobei die als momentane Umdrehungs- 

 achsen fungierenden Tangenten von 2', auch 2 beriihren. Im momentanen Bcriihrungs- 

 punkte soll das Kriimmungsmass fiir S\ und 2\ dasselbe sein. Wir können dann 



\r. 22. 



oll da8 durch A.bwicklung von («*,) erhaltene Band von n', bedeaten. 

 Die Berunrangskarve zwischen -", and der ihr and 2' gemeinsam amschriebenen Developpable vrird 

 Umhallangsgebilde der Korven s , n s',,... and macht die natnxliche Begrenzung des fraglichen StQcks von 2', aus. 



