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A. V. BACKLUND, SATZE AUS EINER THEORIE VON BIANCHI. 



£2VEG—F* 

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= 0(v,;i), 0>arb., 



(v Parameter der geradlinigen Erzeugenden von S bedeutend) Flächenscharen S' vor 

 sich hat, die zu jeder auf S abwickelbaren Linienfläche 2 Scharen von x 1 ^' liefern. 

 Aber diese können nur dann fiir die Fläche ^' als ergänzende Brennflächen von 

 JF-Kongruenzen dienen, wenn auch jede der S' eine solche Bedeutung fiir 8 hat. In 

 diesem Falle muss nach Gl. (36) sein: 



<> , - U22| 



und wäre noch (Gl. (37)) 



F = 



1 dO 



so wären offenbar auch die beiden Gleichungen (25) durch die $'-Schar befriedigt, 

 und durch diese wiirde dann mittelst der Gleichungen (17), (18) einer jeden auf £ 

 abwickelbaren Fläche, auch wenn sie keine Linienfläche ist, eine Schar von x'2:'der- 

 selben Art (35) zugeordnet. 



Ich will dauernd nur von S'- und 2'Scharen dieser Art sprechen. Ich weiss (Nr. 

 26), dass sie alle auf einander abwickelbar sind, weiss auch (Nr. 14), dass jede Z' , 

 die einer Linienfläche 2' entspricht, von oo 1 S' , die den einfach unendlich vielen 

 Lagen der auf dieser 2" rollenden Linienfläche S entsprechen, nach Kurven, und dann 

 weil die S' auf 2' abwickelbar sind und mit S bez. 2 IF-Kongruenzen bestim- 

 men — notwendig nach Haupttangentenkurven v = C beriihrt wird. Bei der Ab- 

 wicklung von 2' auf S\ werden daher die Haupttangentenkurven v = C beider Flä- 

 chen einander decken. Dann aber miissen nach einem Satze von Bonnet iiber ab- 

 wiekelbare Flächen 1 die in Frage stehenden Haupttangentenkurven geradlinig sein: 

 alle aus einer Linienfläche 2 hergeleiteten 2' miissen Linienflächen sein." 



30. Fiir eine jede der oo 1 Flächen 2', die beim Rollen der Linienfläche S auf der 

 Linienfläche 2' von den Flächen der mit S fest verknlipften £'-Schar uinhullt werden 

 — und die auch selbst Linienflächen sind — gilt es, dass sie längs ihrer geradlinigen 

 Erzeugenden von je einer der S' derart beriihrt wird, dass von den Erzeugenden 

 einer beliebigen dieser S' immer eine auf einer der 2 f als ihre Beriihrungsgerade mit 

 der 8' in einer Stellung derselben fungiert. 



Beachten wir noch, dass, weil jetzt fiir 2 und S sowohl £— D als /)' -7)' . 

 die ersto der fiir die oo 1 2' geltenden Gleichungen (17), (18) crgeben muss: 



0. also a =/(r, Å) 3 , 



du ' 



1 Biakchi, Differentialgeometrie, L910, §114, S. i-MT, 218. 



1 Vgl. liuN.iu ii. a. <». § 312. 



3 u = C gibt fiir St ilie zweite Schar ihrer Haupttangentenkurven, aber Un-' aiemala eine Bolohe Kurvenschar, 



