50 A. V. BÄCKLUND, SÄTZE AUS EINER THEORIE V OX BIANCHI. 



32. Eine kurze Bemerkung iiber den Zusammenhang zwischen So und So' möchte 

 ich hier einschalten. Im allgemeinen entsprechen sich eindeutig öder auf endlich- 

 deutige Weise sowohl die Punkte als die Flächenelemente einer 2' und einer ihr an- 

 gehörenden S', aber fiir So und eine So' gilt solche Eindeutigkeit öder endliche Mehr- 

 deutigkeit des Entsprechens nur den Flächenelementen. Einem beliebigen Flächen- 

 elemente von So z. B. in dem Punkte 31 entspricht ein Fläcbenelement einer So', 

 nämlich dasjenige, das dieser Geraden in ihrem Schnittpunkte M' mit der Ebene des 

 Flächenelements von So angehört und in die Ebene (MM' So') fällt. Dieses Flächen- 

 element gehört zugleich der S' an, die durch jene JiV-Gerade geht und mit der 

 S verkniipft ist, die die Fläche So in M beruhrt, 1 und wir gewinnen demzufolge 

 das einem beliebigen Flächenelemete einer So' entsprechende Fläcbenelement von 

 So, wenn wir zuerst diejenige der durch So' hindurchgehenden einfach unendlich 

 vielen S' konstruieren, die das vorliegende Fläcbenelement von So' auch enthält, 

 und nachher die Lage der ihr angehörenden S bestimmen. Sie beruhrt nämlich So 

 längs einer Geraden (v = G), und das Flächenelement von So im Schnittpunkte dieser 

 Geraden mit der Ebene jenes Flächenelements von So' wird eben das gesuchte von 

 So, das ihm entspricht. 



Das hier Auseinandergesetzte fasse ich folgendermassen zusammen. Eine Tan- 

 gente 31 M' von So, die ^"o in M beruhrt und S» in 31' trifft, beruhrt im letztereii 

 Punkte eine S', fiir die 31' der mit 31 in dem in Nr. 1 gegebenen Sinne korrespon- 

 dierende Punkt wird. Denn 31 wird ja Beriihrungspunkt zwischen So und der S, 

 die jene S' zu ihrem Gefolge zählt. 2 



33. Kehren wir nun zur Linienfläche B der Nr. 31 zuriick. Sie wird in jedem 

 Punkte von einer der tx> 2 8' beruhrt, die den x 1 Lagen der auf S* rollenden S ent- 

 sprechen; sie wird aber auch von keiner S' in unendlich vielen Punkten beruhrt. Ich 

 werde jetzt zeigen, dass als Beriihrungspunkt mit einer S' der Punkt auf F insofern 

 gekcnnzeichnet ist, als diejenige Yerriickung dcsselben, die einer infinitesi målen Ver- 

 biegung von 8' angehört und parallel der Normalen von S im entsprechenden Punkte 

 geht, auf S' selbst verläuft. Wenn wir nämlich des näheren die Betrachtungen iu 

 Nr. 31 verfolgen und dabei zunächst erwägen, dass im allgemeinen die Verbiegung 

 einer durch So' t hindurchgehenden *S', in die derselben *S'-Schar angehörende und 

 durch So' s hindurchgehende 8' t zvvar nie die Gerade S»\ zu So'.,, wohl aber zu einer 

 unendlich benachbarten Geraden der erwähnten 8' 2 fiihrt," und wenn dans weiter .1/ 

 ein auf So\ befindlicher Beriihrungspunkt zwischen 7)',, und S\ ist, so verstehen wir 

 leioht, dass die Richtung der bei jener Verbiegung geschchenen Verschiebung von 31' 

 In der Tangentencbene von Z? iu .1/' geht. Denn da S' t jetzt die Fläche 1\ in .1/' 

 beruhrt, beruhrt 8' 2 die /.'„ unendlich nahe an 31', der deshalb auch auf S' t liegt. 

 Aber die fragliohe Verschiebung 31' M" von 31' tiihrt von 8\ v.\\S\. Daher ist 31' M 



1 Vgl. Nr. 2. 

 - Nach Nr. 2. 

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