52 A. V. BÄCKLUND, SÄTZE AUS EINER THE0RIE VON BIANCHI. 



und damit ergibt sich aus (C) : 



(c) * r „ [/' (*') T (x) + f (?/) r (y) + f (z') F> (■)] + t' (Ä) dX = 0. 



Die Gleichung der Hiille der vorliegenden 2"'-Schar wird durch Eliminierung 



von /. aus f (x , y , z' , X) = und /'(/.) = gewonnen. Es sei 



(d) 0(x',y',z') = O 



diese Gleicliung; dann haben wir ©'(«'), <D'(y'), ©'(a') proportionai zu /' (»'), /' (*/'), /'(z') 

 bez. und bekommen damit fur 2' und die Hiille ihrer 2' nach (a), (b), (c) die fol- 

 genden Gleichungen: 



(x'-x)F'(x) + (y'-y)F'{y) + (z!-z) F'(z) = 0, 



(e) {x'-x)(D\x') + (y<-y)<i>'(y') + (z r - zW(z') = 0, 



*" (*) ©' (*') + F' (y) 0' {y') + F' (z) O' (z') = , 



wodurch unser Satz fiir die zwei Flächen F = 0,(I> = erwiesen ist. 



35. Es war jedoch hierbei vorausgesetzt, dass e' nicht verschwindet, und dass 

 die Schnittkurve 



(0 / = 0, /'(/.) =0 



irgend zweier benachbarter Flächen S' auf diesen Flächen keine singuläre Stellung 

 einnimmt. Jedenfalls gelangen wir durch die Rechnung in Nr. 21 fiir die Punkte 

 der Kurve (f) nur zu zwei statt drei Gleichungen (66), nämlich zu der Gleichung: 



adX = D'(mdu + Idv), (D = D" = 0), 1 

 und der Gleichung: 



Lån + Pdv = 0. 



Denn, stellen wir die Gleichungen auf, die fiir die Richt ungen X, Y, Z; X', Y' , Z' der 

 Normalen von 2, l' in entsprechenden Punkten gelten; sie gehen aus den Gleichun- 

 gen in Nr. 3 nebst der letzten der Gleichungen (33) unter folgender Form hervor: 



A I 00' (M: L)qX + («-«') Y-(y-y')Z, 



r v Q( ,' = (m : ; — L)qY + (x — »') z - (z - z') x , 



Z l nn I .1/ : L) >J Z I (»/ //) X — (x — x') Y , £ - /, W». 1 



1 w, v siml jetzl als Parameter der Saupttaogentenknrven auf - angenommen. An der Stelle m>ii 11 in 



Nr. LM tritt liicr /. auf. 



- Der Kall in U isl dann von der folgendon BetrachtODg au.sgrsrhlossen. 



