54 A. V. BACKLUND, SÄTZE AUS EINER THEORIE VON BIANCHI. 



wir dies tun, so miissen wir statt (A) die Gleichung jener x l Stellungen von S ein- 

 fiihren, etwa die Gleichung: 



(A'] F(x,y, 8,A) = 0, 



ferner statt (B) die Gleichung der entsprechenden Stellungen der Å'-Schar setzen: 



(B') f(x\y',z',?.,u)^0, 



u Parameter einer *S"-Schar, und endlich statt (d) eine Gleichung: 



(C) Q(x',y',z',l) = 0, 



die diejenigen oc 1 Stellungen der Hiille der *S'-Schar ergeben wiirde, die den oc 1 Stel- 

 lungen (A') von S entsprächen. Nun haben wir schon zu Anfang der Nr. 33 die Fläche 

 i? als Hiille dieser oo 2 S' geschildert. Ihre Gleichung geht dann aus (C) durch Eli- 

 minierung von /. vermittelst (//(/) =0 hervor. Es sei 



(D') 0(x',y',z')=O 



diese Gleichung. Die Gleichung der 2o wird aus (A') und F(/.) = durch Eliminie- 

 rung von /. gewonnen. Wir lassen 



F(x,y,z) = 



diese Gleichung bedeuten. Dann finden wir F'{x), F'(y), F'(z), <l>'(z'), <l>'(y'), <!>' (z 1 ) pro- 

 portional zu F'(x), F'(y), F'(z), Ö>'(a/), <&(y'), 0'(z') bez., und wir können damit aus den 

 betreffenden Gleichungen (e), in die jetzt T. als variierender Parameter eingeht, auf 

 die folgenden schliessen : 



(*' - x) F'(x) + (y 1 - y)F'(y) + (z' - z)F'(z) = 0, 



(x'-x)<I>'(x') + (y'-y)<I>(y') + (z' - z)Ö'[z') = 0, 



¥ (x) d>'(x') + F' (y) <1>' (y') + ¥' (z)«>' (z 1 ) = 0, 



die jedoch nur den uns schon aus Nr. 33 bekannten Satz von 2" und N als zwei 

 Teilen ein und dcrselben Evolutenfläche algebraisch formulieren. 



Weiui wir aber mit (S') die Hiille einer >S'-Schar bezeichnen, haben wir (C) als 

 Gleichung <\vr den x 1 8 (A') entsprcchenden ($')-Schar zu deuten, und wir durfen dann 

 ans der oben stchcnden Reclmung schliessen, dass Z? 0) fiir die die Gleichung (D') gilt, 

 auf uinendlich vielc Weisen als Hiille einer {S')~ öder (J')-Schar aufgefasst werden 

 känn, vrobei j<'<lo [8') [öder p')] der fraglichen Schar die Fläche 7>' nach einer gan- 

 zen Kurvc beruhrl immer vorausgesetzt, dass die Relation (35) statthat. 



:;7. Dem soeben Erörterten schliesst sioh zunächst die folgende Erwägung an. 

 Da beim Rollen von 8 auf -•• die geradlinigen Erzeugenden von Jo als tnomentane 

 Drehungsachsen von 8 fungieren, so bestelit auoh jene Bewegung von (<$'), wobei sie 



