KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 55. N:0 2. 55 



unablässig F nach einer Kurve beriihrt, aus genan denselben infinitesimalen Dre- 

 hungen wie denen von S um jene Erzeugenden von So. Damit wird aber wenigstens 

 der bewegliche Teil der Beriihrungskurve einer (S') mit F Ort öder Teil des Örtes 

 der Punkte dieser Fläche, deren Normalen eine der Fläche (S 1 ) entsprechende gerad- 

 linige Erzeugende von 3 treffen. Dieser Ort hängt offenbar nur zum Teil von der 

 besonderen Natur der Fläche S ab. Statt S könnten wir daher irgend eine andere 

 auf So abwickelbare Linienfläche S einfiihren und bekämen freilich dann statt der 

 oc 1 (S') ganz andere Flächen (S'j, aber die variablen Teile ihrer Beriihrungskurven 

 mit F mussten doch fiir alle solche (S') in den Orten der Fusspunkte jener Nor- 

 malen von F enthalten sein. 



Es sei nun So' eine beliebige der Erzeugenden von i? . Es gibt auf So' zwei 

 Punkte (Nr. 33), die Beriihrungspunkte zwischen i? und einer S' werden, und diese 

 Punkte werden zu derselben Zeit die einzigen auf So', die als Beriihrungspunkte zwi- 

 schen i? und einer jene S' umhiillenden (S') möglich sind. Es war aber dann voraus- 

 gesetzt, 1) dass keine zwei S' von ein und derselben Schar eine Gerade So' gemein 

 haben, und 2) dass keine S' in unverändert gleicher Stellung zu zwei verschiedenen 

 Lagen öder Stellungen von S gehört. 



38. Der Ort der Fusspunkte der Normalen von i? , die eine gegebene Gerade 

 treffen, tritt als Schnittkurve zweier unendlich benachbarter Lagen dieser F auf, von 

 denen die zweite Lage aus der ersten durch eine unendlich kleine Drehung um jene 

 Gerade herauskommt. Wenn also i? algebraisch und von der ra: ten Ordnung ist, 

 so haben wir im allgemeinen die fragliche Kurve von der m 2 :ten Ordnung zu zählen. 

 Von So' wäre sie in ra Punkten geschnitten, während wir doch unter den erwähnten 

 V oraussetzungen fiir den mit einer (S r ) gemeinsamen Teil dieser Kurve nur zwei 

 Punkte auf So' zu finden hatten. Dies gilt fiir eine jede der oo 1 3'-Geraden der i? , 

 falls durch jede derselben gleichzeitig nur eine Fläche der S'-Schar geht. Wenn es da- 

 gegen deren // gäbe, hatten wir auf So' nicht weniger als 2 ii Punkte als Beriihrungs- 

 punkte zwischen F und einer (*S f ) zu bezeichnen. Damit werden wir zu der Annah- 

 rae gefuhrt, dass im allgemeinen m = 2fi ist, ,"=i, 2, ... oo. 



39. Im Falle /< = 1 wäre also F ein einschaliges Hyperboloid, und weil dieses 

 stets jedes andere konfokale Hyperboloid zur Evolute ergänzt, so muss man sich zu- 

 nächst fragen, ob denn das einschalige Hyperboloid eine Fläche So der obigen Art 

 in dem Sinne sein känn, dass fiir es die Erzeugenden eines konfokalen Hyperboloids 

 eine die Bedingungen (30) und (35) erfiillende So '-Schar ausmachen. Nach dem in 

 N. 15 Entwickelten muss diese Frage bejaht werden. 



40. Letzterer Satz biidet auch den wahren Ausgangspunkt der am Anfang 

 der vorliegenden Abhandlung erwähnten Untersuchung von Bianchi iiber die auf 

 Flächen zweiter Ordnung abwickelbaren Flächen. Aus seiner Untersuchung entlehne 

 ich tiberdies einige fiir diese Theorie iiberaus wichtige Sätze iiber konfokale Hyper- 

 boloide von etwa folgendem Inhalte. 



