56 A. V. BÄCKLUND, SÄTZB AUS EINER THEORIE VON BIANCHI. 



Ich setze zunächst voraus, dass eine Schar der Erzeugenden des Hyperboloi- 

 des Sa (41) durch die Gleichungen ' gegeben ist: 



(a) = sin A. + cosÅ, ?■= — cos/. -f sin /. 



a c be 



und eine Schar der Erzeugenden des konfokalen tlyperboloides i?,, durch die Glei- 

 chungen : 



x' z' >/' z' 



—. = —, sin u + cos ii , i-, = : cos u + sin « , 



., . a c 'be 



(b) 



a f = l^« + k, b' = V b 2 + k, c' = l c- - /.-. 



Wenn dann nach Ivorys Regel diejenigen Punkte (x,y,z). (.»'.//.:') der zwei 

 Hyperboloide 2o und i? einander zugeordnet werden, fur die 



x x' y _y' z z 

 a a 1 ' b b' ' c c' 



so werden dabei auch die Geraden (a) und (b), und zwar einfach durch die Gleichung 



/. = u 



einander eindeutig zugeordnet. Zwei beliebige Punkte m x , m 2 auf 2o stehen auch 

 mit den ihnen zugeordneten Punkten m\ , m'. 2 auf ft in solchem Zusammenhang, dass 



(c) m l m' 2 = m' i in,.- 



und falls m ly m 2 auf derselben Geraden (a) liegen, wobei auch m\, m' 2 auf derselbcn 

 Geraden (b) liegen, rmiss ausserdem sein: 1) 



(<1) m x m 2 = wt'i m' t 



und 2), wenn n, n' irgend zwei zugeordnete Punkte auf 2o, Z? b>deuten, infolge der 

 Sätze (c) und (d): 



(e) Winke\m l m 3 n < Winkelw/wij'». 



41. Konstruieren wir hernach die Tangentenebenen von So in letzteren Punkten 

 in^vr, und bczeichnen wir inre Schnittpunkte mit einer beliebigcn, der Geraden m t m 2 

 jedoch nicht zugeordneten Geraden (b) mit n\ bez. n' it und die den letzteren zugeord- 

 neten Punkte auf 2o mit />, bez. w 2 , so konstatieren wir ohne Miihe, erstens dass die 

 Kbenen /?,w_, m',, n^n^rn'., die Fläche 2o in beziehungsweise den Punkten n lt n% berilhren, 

 and /.u ritens dass, wenn wir daa System der Punkte. n x ,n 2 ,m\,m\ als ein starres Sy- 



■ Vgl 01. 147). 

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