KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 55. NIO 2- 57 



stem behandeln und es dann von der Umgebung los machen und nachher so versetzen, 

 dass ??j, n 2 , m' x mit n' x , n' 2 , m x koinzidieren — was nach (c), (d), (e) möglich sein muss — 

 auch m' 2 mit m 2 koinzidiert. 1 



Hierbei fallen die Ebenen n x n 2 m\, n x n 2 m' 2 , die 2o in n u n 2 beriihren, mit den 

 Ebenen n\n\m x , n' x ?i' 2 m 2 zusammen, so dass, wenn 2o mit dem Punktsysteme n lt n 2 , 

 m\,m' 2 fest vereinigt geblieben und nur die Gerade m x m 2 aus ihr losgelöst wäre, 

 2« in eine solche Lage kommen wiirde, dass sie in den Punkten n' x ,n' 2 die letzteren 

 Ebenen beriihrte. 



42. Die Gerade n\n' 2 war eine beliebige der Erzeugenden (b) der i? , ebensowie 

 m x m 2 eine beliebige der Gattung (a) der 2o in deren erster Lage war. Wenn dann 

 m 2 längs letzterer Geraden bewegt wird, bewegt sich ?i' 2 auf der ersterwähnten und 

 zwar so, dass 2o in ihrer zweiten Lage, \vo sie die Gerade n\ n' 2 enthält und in n' x 

 die Ebene m x n\n' 2 beriihrt, auch immer im variierenden Punkte n' 2 die dazu gehö- 

 rende Ebene m 2 n' 2 n\ beriihrt. 



Letztere Ebene m 2 n' 2 n' x enthält aber das der 2o '-Geraden n\n\ sich anschlies- 

 sende Flächenelement, welches mit dem Flächenelemente von 2o in m 2 in dem in 

 Nr. 7 erklärten Sinne korrespondiert, 2 und gehört somit auch als Tangentenebene in 

 n' 2 jeder Linienfläche 2' an, die auf die vorhin 3 bemerkte Weise einer beliebigen 

 auf 2o abwickelbaren Fläche 2 entspricht, die 2o in ihrer ersten Lage nach der Ge- 

 raden m x m 2 beriihrt. 



Aus dem oben Erörterten geht dann deutlich hervor, dass, wenn 2 eine beliebige 

 auf 2» abwickelbare Linienfläche ist, jede der oo 1 ihr entsyrechenden 2', die, wie wir 

 friiher gesehen haben, auch Linienflächen sind, längs jeder ihrer geradlinigen Erzeu- 

 genden von 2o bei einer angemessenen Lage derselben beriihrt wird. 



Dieser Satz, den wir zusammen mit seinem hier gegebenen Beweise gänzlich 

 Bianchi verdanken, 4 fiihrt nun auch folgendermassen zu Biänchis grösserem Satze 

 iiber die Abwickelbarkeit aller 2' auf 2o. 



43. Aus Nr. 26 ist es uns bekannt, dass alle Flächen 2', die wir aus den auf 

 das Hyperboloid Jo abwickelbaren Flächen 2 durch Rollen von 2° auf - mit Hilfe 

 der dem 2o angehörigen 2fo r -Schar in der oben (§ 1) angegebenen Weise ableiten könn- 

 ten, immer auf einander abwickelbar werden. 5 Unter den 2 gibt es im vorliegenden 



1 Gemäss der Formel (e) fiihrt die IvctRYsche Transformation, auf 2» und E angewandt, die Endpunkte 

 der kiirzesten Entfernung zweier beliebiger Geraden n l n 2 und m\ m\ der Gattungen (a) und (b) auf 2o bez. 

 It„ in die Endpunkte der kiirzesten Entfernung der zugeordneten Geraden n\ n'., und m l m 2 auf i? bez. 2o uber. 

 (Sie lässt ebenso den Winkel jenes Geradenpaares unverändert.) 



2 Vgl. auch Nr. 32. 



3 Nr. 29. 



4 Siehe Biänchis Differentiahjeometvie (1910) § 301 öder seine Théorie des transformations etc. Sav. 

 étrang. t. 34 N:o 1, §§ 10, 11. 



5 Weil aber jetzt die 2o' Gerade sind und auf sie die Rechnung der Nr. 21 niclit anzuwenden ist, neb- 

 men wir lieber zum Beweise jenes Satzes statt 2o irgend eine andere auf J abwickelbare Fläche S nebst ihren 

 <S''-Flächen zur Erzeugung der 2' an und können dann direkt aus der angefuhrten Nr. 26 auf die Abwickelbarkeit 

 aller 2' auf einander und auf S' schliessen. 



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