58 A. V. BACKLUND, SÄTZE AUS E1NER THEORIE VON BIANCHI. 



Falle Linienflächen, deren 2' auch Linienflächen sind. Greifen wir eine beliebige dieser 

 2' heraus und bezeichnen mit </i, </ 2 > S^. • . • ihre geradlinigen Erzeugenden: sie korre- 

 pondieren eindeutig auf die in Nr. 1 angegebene Weise mit den Geraden gi,g 2 ,g s , • • • 

 der entsprechenden 2, und diese fungieren nach einander als momentane Drehungs- 

 achsen des auf 2 rollenden 2o und fallen daher bei der Abwicklung von 2" auf So mit 

 einer Schar (a) von Erzeugenden /i,/ 2 ,7 3 , • • • letzteres zusammen. 



Aber g\, g' 2 , g' 3 , . . . können wir auch eindeutig auf die Erzeugenden einer ent- 

 sprechenden Schar (b) h\, h'.,, h' ä , . . . des mit 2"o konfokalen Hyperboloides i? bezie- 

 hen. 1 Diese Averden ebenso kontinuierlich wie g\, g' z , gf 3 , . . . auf einander folgen. Das- 

 selbe wird offenbar auch mit den Geraden A,, h 2 , h 6 , . . . auf 2o der Fall sein, die nach 

 Ivorys Regel' jenen Geraden h\,h' 2 ,h' 3 , . . . entsprechen. Nach dem eben Entwickel- 

 ten känn der Zusammenhang zwischen g\, g'-,, . . . und h\, h' 2 , . . . sogar derart her- 

 gestellt sein, dass nach einander h lt h 2 , h 3 , . . . mit g' v g' 2 , g' 3 , . . . als Beriihrungslinien 

 zwischen 2' und ebenso vielen verschiedenen Lagen von 2» zusammenf allén. (Es wer- 

 den dann h { von /, verschieden.) 



Erinnern wir uns nun, dass zwei Flächen, die sich nach einer Haupttangenten- 

 kurve beriihren, in den Beriihrungspunkten dasselbe Krummungsmass aufweisen, 1 

 so verstehen wir (aus Nr. 20), dass 2' so auf 2o abzuwickeln ist, dass sich dabei 

 g'i,g' 2 , • • • niit h^h-,, . . . decken. 



Also nach dem zu Anfang dieser Nr. bemerkten Satze von der Abwickelbarkcit 

 aller 2' auf einander: alle 2'', die in der angcnommencn Weise aus den auf dn I/i/pcr- 

 boloid abwickelbaren Flächen entspringen, iverden selbst auf dasselbe Hypcrboloid ab- 

 ivickelbar. 



Hieraus folgt weiter, dass die jetzt in den fiinf letzten Nra. geschilderte Trans- 

 formation von Bianchi eine solche ist, von der in Nr. 28 die Rede war, die nicht 

 nur selbst, sondern deren Umkehrung auch von der Form (17), (18) ist und die For- 

 derung (35) erfiillt. 



44. Bemerken wir nun, dass in den Gleichungen (b) der Nr. 40 der Wert der 

 Konstanten k sehr beliebig 4 anzunehmen ist, indem nämlich tias Hvperboloid A',,, 

 das sonat diesen Wert bestimmt, beliebig unter den mit dem vorliegenden 2» konfo- 

 kalen cinsclialigen Hyperboloiden gewählt werden känn, 5 so finden wir, dass, wie es 

 l>i wcm gelehrt, jedem einschaligen Hyperboloide 2o eine gänze Schar von Tfansförma- 

 tionen der oben angegebenen Art zuzuordnen ist. Bianchi hat auch fiir zwei beliebige 

 derselben einen Vertauschbarkeitssatz entwickelt, der fiir die wirklichc Darstellung 

 neiier auf !■> abwickelbarer Flächen jedenfalls von der allergrössten Bcdeutung wird. 



Wenn wir uns speziell auf die auf 2o abwickelbaren Linienflächen besohränken, 

 80 können wir diesen Satz von BlANOHl am besten aus der in §§ 24, 25 seiner 



1 //, verhall -nii wie m,ffi], v', h\ wie "," 7 und die nachfolgende Qerade A, wie n l n 2 der Nr. ii. 



atZ VOIl ENKBPBB, 



' Diesef V?epl musa jedocfa zwischen »wei von den Parametern des Efyperboloidee -<> abhängenden Gren- 

 an enthalten Bein, wenn die Reohnang nur reelle GrÖssen amfassen soll. 



Naili Nr. L5. 



