GO A. V. BACKLUND, SÄTZK AUS EINER THEORIE VON BIANCHI. 



Dann aber miisste die Eliminierung derselben Grössen aus (b) und der zweiten 

 Gleichung (a), weil diese Gleichungen ans den ersterwähnten durch gegenseitige Ver- 

 tauschung von a', b', c' und a", b", c" hervorgehen, u. a. die Gleichungen liefern: 



(e) ~,sin /«' + cos m'. ... — -, cos f.t' + sin ,«', fi' — f(a,(t, ...()"; a", b", c"; a', b', c'). 



Sie stellen aber als Schnitt öder Teil des Schnittes der Fläcken R'\ und R' u eine Gcrade 

 dnr. die somit von 2, 2 1 , 2" in Verein mit einer von deren Geraden gi,g\,g'\ als roll ig 

 bestimmt anzusehen ist. 



Von dieser neuen Geraden (e), die ich kiirzer mit g w bezeichne, känn ich dann 

 aus dem obigen weiter schliessen, dass, wenn g x die Fläche 2 beschreibt und dement- 

 sprechend g\, g'\ die Flächen 2',2" beschreiben, die neue Gerade g m in einer davon ganz 

 bestimmten Weise eine vierte Fläclie 2 li) beschreibt. Und ebenso wie wir aus den der 

 Geraden g x entsprechenden Geraden g\,g'\ und den längs ihrer die Flächen 2', 2" be- 

 riihrenden 2<>m, ^V» durch Umkehrung des Verfahrens in Nr. 41 jedenfalls eine und 

 dieselbe Fläche 2o<°> herleiten, die die Fläche 2, als Ort von g u nach g x beruhrt, 

 leiten wir durch blosse Vertauschung von R'„ und i?"„ aus denselben 2^\ 2V 1 " eine 

 neue Stellung des Hyperboloides 2o her, wobei es den Ort von g {i) , d. i. 2 (1) , längs g li) 

 beruhrt. Auch werden dann die Flächenelemente von 2 ll) in den Punkten von y (1) im 

 Sinne der Nr. 1 sowohl denjenigen von 2' in den Punkten von g\ als denjenigen von 

 2" in den Punkten von g'\ entsprechen. 



Also, wenn wir a' 2 = a 2 + k^ a" 2 = a 2 + k 2 setzen und fiir die angenommenen, von 

 /.' ',, und R" vermittelten Transformationen die BiANCHischen Bezeichnungen B kx% B,,., 

 anwenden und somit schreiben: 



(f) 2' B kl 2,2" B ki 2S 



dann wäre einerseits 2 {l) lh, - . andrerseits - il ' B kl 2", also, unter Anwendung der 

 Substitutionen (f): 



B k ,B kl 2 B ki B kt 2. 



Geradi dadurch ist Bianchis Vertauschbarkeitssatz fiir auf 2° abivickelbare Linienflächen 

 ausgesprochen. Da ferner eine jede auf 2a abwickelbare Fläche anderer Art das l'm- 

 hullungsgebilde einfach unendlich vieler nach krummcn Haupttangentenkurven sie 

 beriihrender und auf sie abwickelbarer Linienflächen ist,- so leuchtet Bofort ein, dass 

 und wie sicli jener Kalv. auch auf diese anderen Flächen erstreckt. (Vgl. § .328 der 

 Differentialgeometrie (1910) von Bianchi sowie die oben zitierte Théorit des trons- 

 formations des surfacei applicables sur les quadriques généräles von Bianchi §§ 24, 25, 

 29, 42). 



ii.i- Zeichen stehl hier zu A.bkörzung far eine <ici- Flächen». Auch ist jetzl 2 />'/,,-' B kt 2", 

 ■ Nach einera 8atze von < mim. Siehe § L26 in Biamchih o. a. Differentialgeometrie (1910). 



