KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 63. N:0 I. 39 



Hier beruhen die Zahlen {, i' auf diese Weise auf den Zahlen j, k bzw. f, k', dass 

 i, j, k eine Zahlreihe sein soll, die man aus der Reihe 1, 2, 3 durch eine gerade 

 Anzahl Permutationen erhalten hat und dass dasselbe fur i', j,' k' gelten soll. Un- 

 sere Gleichungen können in einer Vektorgleichung zusammengefasst werden: 



(13) ^(^^-^^)=0- 



Die Gleichungen (11), (12), (13) besitzen sicher eine gemeinsame Lösung, nämlich 

 sin ^ = 0, wenn die Gleichungen (8), (9) erfiillt sind. Wir wollen nun annehmen, 

 dass die Gleichungen (11), (12), (13), betrachtet als Gleichungen fur i/>, eine gemein- 

 same Lösung besitzen. Wir wissen da, dass der Vektor L U) iiberall mit ein und der- 

 selben Ebene parallel ist. Wir fiihren nun ein festes Koordinatensystem Xj ein, des- 

 sen x x ;r 2 -ebene mit der eben genannten Ebene parallel ist. Wir drucken die Kom- 

 ponenten der drei Vektoren L a) , L {2) , L m neuerdings durch die drei Winkel d, (p, 4>, 

 aus. LP erhält da den Wert sin x*) sin V. Soll L$ ] verschwinden, so muss also 

 entweder sin V = öder sin 3 = 0. Im ersten Falle werden die Gleichungen (11) und 

 (12) identisch mit (8) und (9). In letzterem Falle beruhen IS?, Lf\ Dp bloss auf 

 einer Variablen r/> ± ip. Die Gleichungen (11) und (12) enthalten also zwei Relationen 

 zwischen dieser Variablen und ihren partiellen Ableitungen. Setzen wir V=0, so gehen 

 die Relationen in Gleichung (8) und (9) iiber. Sie können also inhaltlich identisch 

 mit den Gleichungen (8) und (9) genannt werden und unterscheiden sich von diesen 

 nur durch eine andere Bezeichnung der in Wirklichkeit vollkommen unbestimmten 

 Variablen. Wir können daher sägen, dass das Gleichungssystem (11), (12), (13), das 

 offenbar invariant ist, da die linken Seiten in allén drei Gleichungen invariant sind, 

 gleichbedeutend mit unseren Gleichungen (8) und (9) ist. 



Das dieses die einzige Möglichkeit ist, den Inhalt der Gleichungen (8) und (9) 

 in invarianter Form darzustellen, soll damit nicht gesagt sein. 



6. Unsere Gleichungen vereinfachen sich im Kristallinneren wesentlich. Alle 

 Koeffizienten werden dort zu Konstanten. Viele von ihnen verschwinden. Zwischen 

 den iibrigen bestehen zahlreiche lineare Relationen. Wir werden uns in diesem 

 § mit den Vereinfachungen der Gleichungen (8) und (9) befassen, die eine Folge 

 davon sind. 



Unsere Koeffizienten gehören alle zu einer der Formen: 



Fjk- ■ ■ . F j k --- 



n n 



wo F eine Funktion von ti u ^d i* 2 ist und daher Rotationssymmetrie um die 2/3-achse 

 besitzt. Man sieht unmittelbar, dass diese Koeffizienten nur dann einen von Null 

 verschiedenen Wert haben können, wenn in der Zahlreihe /, k... jede der Zahlen 1 

 und 2 eine gerade Zahl mal vorkommt. Auch wenn dies der Fall ist, so verschwin- 

 det trotzdem ein Koeffizient der ersten Form, wenn F eine gerade Funktion von £ 2 

 ist und die Zahl 3 eine ungerade Zahl mal in derselben Zahlreihe j, k. . . vorkommt 



