6 A. V. BÄCKLUND, UEBER DIE METHODE DER VARIATION DER INTEGRATIONSKONSTANTEN. 



Durch diese Substitutionen nimmt die Gleichung (2) die Form an: 



1 k 



(Q)^+(Ih(X 1 ,X 2 ,...P l ,P 2 ,..J') + (U 2 (X l ,X 2 ,...P l ,P 2 ,..,t')-.Q(X 1 ,X 2 ,...Xs n ,t')-^i m X m = 0, 



m=l 



wobei 0! ein ganzes homogenes Polynom des ersten und <Z> 2 eines des zweiten Grades 

 in Bezug auf P x , P 2 , . . . P Zn darstellen. 



Erinnern wir uns jetzt, dass bei der Punkttransformation (4), — sowie bei allén 

 LiE'schen Beriihrungstransformationen, — die Charakteristiken der partiellen Differen- 

 tialgleichungen, eben weil sie Beriihrungsstreifen der Integrale ausmachen, ihre Eigen- 

 schaft als Charakteristiken bewahren, so verstehen wir, dass die Gleichungen der 

 Charakteristiken von (6) die Bewegung unseres Punktesystems liefern miissen. Und 

 weil jetzt die Definitionsgleichungen dieses Punktesystems einfachlanten: Å^=0, X 2 =0, . . . 

 X k = 0, so miissen k Gleichungen der fraglichen Charakteristiken von der Form: 



[n dt 'dt '■■dt 



sein. Aber nach (6) muss sein: 



dXi_do 1 do, . 

 dt ~ dPi + ÖPS *- 1 ^»--;--^». 



und daher: 



{i ' dP, dP l ' dP 2 ^ dP 2 u ' * * ' öP k "*" dP k 



Wir wenden diese Gleichungen zur Elimination aus (6) von P 1 , P 2 , . .. P k an. 

 Setzen wir sodann X x = X 2 = . . . X k = 0, so wird jene Gleichung (6) die Form annehmen : 



(8) || + V [X k+i , X, +2 , . . . X 3n , P k+1 , P k+2> . . . P 3n , t') - ~Q (Zt+x, x k+2 , . . . X 3n ,t') = 0, 



und man bekommt durch die Charakteristiken von (8) in der einfachsten Weise alle 

 möglichen Bewegungen des Punktesystems formuliert. 



Die Gleichung (8) bietet vor (2) und (6) den Vorteil dar, dass sämmtliche darin 

 stehenden Variablen X k+l , X k¥2 , . . . X 3n von einander unabhängig sind, und sie wird 

 die Gleichung, welche durch die Ueberschrift dieses § angedeutet ivorden ist. 



3. Zur Erläuterung des Vorangehenden behandle ich die Frage der Bewegung 

 eines Punktes, der genötigt ist, auf einer Kurve zu bleiben, die sich in vorgeschriebener 

 Weise bewegt. 



Sind die Gleichungen dieser Kurve unter der Form gegeben: 



(9) y = f(x;t), z = rp(x,t), 

 dann wenden wir als Transformation (4) die folgende an: 



X^y — flxJ), X 2 = z — fp(x,t),X 3 = x, 



