12 A. V. BÄCKLUND, UEBER DIE METHODE DER VARIATION DER INTEGRATIONSKONSTANTEN. 



eine bestimmte Lage (x lt y Xi z x , x 2 , . . . z n ) mit einer bestimmten Bewegungsmenge 



In^ p-, m x ( ^' , . . . m n -^\ unseres Systems zur Zeit t gehört: die von Lage und Be- 



\ ett ett a t f 



wegungsmenge zu einer Zeit bedingle, nachher mit der Zeit fortgehende Aenderung in Lage 

 und Geschwindigkeit unseres Systems wird durch eine dazu gehör ende C har akteristik von 

 (8) gegeben. 



Durch Hinzunahme der Werte der Integrale v von (8) erweitern wir den Raum 



B m+ i zu einem Raume B m+2 - In diesem Baume möchten zivei Elemente [v,'£,t, /t , (v \> 

 (v +dv,I- +d§,t + dt,7t + dyr, 'y + d h^j) vereinigt heissen, falls 



7 d v 7J , V 



av -= -.-., dt -h Zj //■/,. (/ ti . 

 (lt t-i 



Und irgend zwei unendlich benachbarte Elemente (£, it, t), (§ + dl, it + dit, t + dt), mit 

 einem v-Werte dem ersten Elemente adjungiert, bestimmen daher immer zwei in ihrer 

 ganzen Erstreckung vereinigt liegende charakteristische Streifen einer Integralman- 

 nig jaltigkeit der m + 1 Dimensionen von (8). 



Jede solche Mannigfaltigkeit wird durch Gleichungen: 



x flf Of dv Of Of 



f(v,t,t Slt s 1 ,...§ m ) = o, / t + i v rt= 'dj i + rv 7ti=0 ' ^ 1 ' 2 ---- 



dargestellt, falls nur durch die so gefundenen Werte von -, 7t x , 7t 2 , . . . it m die Differen- 



tialgleichung (8) unabhängig von den Werten von £,£ lf £ 2 , . . . £ m befriedigt wird. (Es 

 sind Mer, wie oben, i x , i" 2 , . . . i m , it x , . . . it m , t statt X k+1 , X k+2 , . . . X- dn , P k+1 , P /c+2 , ... P 3n ,t' 

 in (8) geschrieben.). 



Diese Integralmannigfaltigkeit (Integral- M m+1 ) wird von oo m Charakteristiken öder 

 charakteristischen Streifen, charakteristischen M x , von (8) erzeugt, und je zwei unend- 

 lich benachbarte dieser Streifen liegen, ihrer ganzen Erstreckung nach, mit einander 

 vereinigt. Zwei Integral-ilf m+1 , die einander in einem Punkte (v, t, l x , £ 2 > • • • $m) De_ 



riihren, so dass sie dort ein Flächenelement (v, £,£,,... S m , n x , . . . ir m , -^\ gemein haben, 



werden sich im allgemeinen nach einer ganzen Charakteristik von (8) beruhren. Jede 

 mögliche Beriihrungsmannigfaltigkeit zweier soldier Integral- M m+1 wird aus oo , höch- 

 stens co m_1 , zu je zweien vereinigt liegenden Charakteristiken von (8) bestehen. Der- 

 artige Beruhrungsmannigfaltigkeiten wären als Integral-ilf niederer Dimensionen von 

 (8) zu bezeichnen. Zwei Integral-ilf, die sich in einem Punkte beruhren, beruhren 

 sich nach einer ganzen charakteristischen M x , falls sie nicht singulär sind öder bloss 

 Teile unzweideutig bestimmter Integrale nächsthöherer Dimensionen derselben Glei- 

 chung (8) ausmachen. Die Charakteristiken der Gleichung sind die einzigen abge- 

 schlossenen, vollständigen, Integral-ilf j derselben. Es ist jedoch hierbei wohl zu be- 

 merken, dass alle M h , von denen hier die Rede ist, Zusammenfassungen von je 



