14 A. V. BACKLUND, UEBER DIE METHODE DER VARIATION DER INTEGRATIONSKONSTANTEN. 



(i6') k=^(M°,i;, i, ,. ..&,*;, *;,...*&), 



(17') 7ti--=0i( ), 



(18') v=W( ) + v°. 



Jetzt wissen wir, dass durch eine beliebig angenommene, die Gleichung (19') be- 

 friedigende M m (Mannigfaltigkeit von m Dimensionen) 1 eine einzige Integral-Jf m+1 

 hindurchgeht, und dass sie aus denjenigen Charakteristiken zusammengesetzt ist, die 

 von den der Gleichung (19') geniigenden FJächenelementen jener M m ausgehen. Letz- 

 tere Flächenelemente erfiillen erstens zwei Gleichungen, etwa die folgenden: 



A (CO co to /0\ A 



mm ■" VS i > bi > ■ • • b>«> «■ ) <-», 



B( ) = v°, 



A, B beliebige Funktionsformen, zweitens die hieraus abgeleiteten m f 1 Gleichungen: 

 ,„,. dB , ,dA ldv\° dB ,<>A 



und drittens die Gleichung (19'). 

 Es ist aber dann 



ldv\° 



I "I TT (CO iro CO ,. r o o o f 0\ 



\ dt J — u ISi , w 2 S m , n lt ,r.., , H ,t ).. 



und durch die letzte der Gleichungen (21), geschrieben: 



_ TIi -co ,o t os-<lÄ . l dA 



wird /t bestimmt. Die m ersten jener Gleichungen (21) liefern hernach die in Frage 

 kommenden Werte von n° lf 7t\ f . . . 7t° m , Diese Werte, die von £?, i'!!, . . . £",, l° ab- 

 hängen, fiihren wir in (16'), (18') ein. Sie gehen damit in die folgenden iiber: 



C . _ lp~ (f 40 CO CO Co \ c . . V (4 /O c» co to \ 



t TT (1 fO ; -"" to to \ ,. ur (4 /O iro iro t» \ 4. „n 



deren Formen wesentlich von der Form der M m (20) abhängen. Wir haben dann 

 schliesslich nur diese zwei Gleichungen (20): 



A /'co to iro jo\ o R f£° t° to 4 \ ,,0 



hinzuzuf ugen, um durch Elimination der Anfangsiverte v°, 1°, s° die Gleichung der ge- 

 suchten, durch (20) hindurcligehenden Integral-M m+l von (8) in der Form: 



V = V \t , l,], s 2 ) • • • SOT/ 



zu gewinnen. 



1 Ausgenommen sind charakteristische Mannigfaltigkeiten von m Dimensionen, die aus co m ] vereinigt 

 liegenden cHarakteristischen Streifen (M { ) zusammengesetzt sind. Vgl. oben. 



