18 A. V. BÄCKLUND, TJEBER DIE METHODE DER VARIATION DER INTEGRATIONSKONSTANTEN. 



Raume (2' x) verwandeln, die Integrale von F' = Konst, und 0' = Konst, werden. 

 Weil also, gänzlich unabhängig von den Werten der Konstanten rechts, die zwei 

 Gleichungen F' = Konst., o' = Konst. o>" -1 Integral-ilf„ gemeinsam besitzen, so muss 

 [F'o'] = sein, öder, wie wir kiirzer sägen können: wenn [F ®] zx = 0, so muss auch 

 [F®\, x , = sein. Umgekehrt, wenn [F0] Z , X > = O, so auch [Fo] sx = 0. Also allgemein: 

 [FQ>]z> x - = g[F(I>]z X , g unabhängig von F und O, und damit, weil \^iVi\zx = [x n 'Pf^\zx^=^, 



Q — [x n Pn]e'x', d. i. : 



(26) [F(I)] Z > X . = [X n Vn\'x> [F0] zx . 



Hiervon werde ich demnächst einen wichtigen Gebrauch machen. 1 



9. Ich nehme die Gleichungen (24) wieder auf. Wie am Anfange der voran- 

 gehenden N. bemerkt wurde, ist durch sie eine Beriihrungstransformation von (zx) in 

 (z x) bestimmt. Dabei steht t als konstant. Die Transformation fällt offenbar unter 

 den Typus (25) fiir k = 0, n = m, fi = z — V — z . Wir erweitern sie aber leicht zu 

 einer Transformation, die neben z, x auch t als Variabele betrifft, indem wir uns der 

 Gleichungen (25) und der aus ihnen abgeleiteten fiir den Fall, dass n = ra + 1 , 

 x m+i = t> x'm+i = t'> fi — % — V — ~\ {2 = t — t' > bedienen. Die Transformation, die wir 

 beabsichtigen, wird also die Form haben : 



(27) 



z==V + z', 



wobei jedoch V ganz beliebig als Funktion von t, x lf x 2 , . . . x m , x\, x 2 , . . . x' m gedacht 

 werden känn. Nach der Regel der vorangehenden N. kommen noch folgende Glei- 

 chungen hinzu: 



dV dV 



(28) P^d^i' p'* = — ^r.(*=i.2,...«i), 



dz_<TV_ dj__ 



dt dt ' en ~ 



Die Elimination von l ergibt: 



(29) dz^dV 81^ 

 K - y) dt dt dt' 



Durch die 2m + 3 Gleichungen (27), (28), (29) haben wir die Transformation in 

 allén Einzelheiten dargestellt, die wir hier als Erweiterung der Transformation (24) 

 gelten lassen wollen. 



Bei dieser Transformation wird 



r i T/ 92 l L< f)V m 0z '1 



1 Zu dem im vorliegenden § schon Vorgetragenen und nocli zu Erörternden ist vor allem die Abhandlung 

 von Sophus Lie zu zitieren: »Begriindung einer Invarianten-Theorie der Beriihrungstransformationen», die im Jalne 

 1874 im VIII. Bände der Math. Ann. veröffentlicht worden ist. 



