20 A. V. BÄCKLUND, UEBER DIE METHODE DER VARIATION DER INTEGRATIONSKONSTANTEN. 



X i = U i \t , X^ , X 2 , • • • X m , p l , p., i • ■ • Pm) i 

 «' = «.. 



(32) v' i = V i {t,x 1 ,x 2 ,.. . x m , ih ,?>„.,.■■ fm) , 



dz' _dz 

 dt' ~di 



l ;j . + -- (t, %i > X 2 j • . • Xm , Pi , J>2 > • • ■ Pm) t 



eine Ber "iihrung 'stråns 'formation begriindet findet, die Funktionen von x, p, t in Funk- 

 tionen von x, })', t' verwandelt, und filr die uberdies die Gleichung (30) als Identität gilt. 

 Die 2m ersten der Gleichungen (31) schreiben wir einf acher so : 



(33) ^ - [fl U&. = , ^ - [fl ViU = , 



und wir erkennen in unseren U if Vi Integrale der Gleichungen der Charakteristiken von: 



dz 



(34) jz + • f - > ^' *!• X 2> ' ■ ■ Xm > Pl* P»' ■ ■ ■ Vm) = 0. 



Solche Integrale werden von denjenigen inf initesim alen Transformationen, welche die 

 Bewegungen der Elemente (x p) längs den Charakteristiken von (34) ergeben, unver- 

 ändert gelassen. Fur die gleichzeitige Aenderung anderer Funktionen F (t,x x , x 2 , . . . x m , 

 Pi, Jh, ■ • • p») gilt dagegen, dass 



dt " dt l "- tUx - 



11. Es sei ausser (34) noch eine zweite partielle Differentialgleichung der- 

 selben Form : 



dz 



(35) - + !>{t,x l; x,, ... x m ,p l} p 2 , .. . p m ) —H(t, x,,x 2 , . . . x m , p x , p 2 , ... p m ) = 0, 



vorgelegt. Auf sie wenden wir mit Vorteil die Transformation (32) an. Falls dabei 

 H in W iibergeht : 



11 { t , Xj , X 2 , . . ■ X m , Pi , p 2 > • ■ • Pm ) == " 1 1 , X i , X 2 , . • • X in , p \ , P 2 ; • • • P m) ■> 



so bleibt die folgende Gleichung zur Behandlung iibrig: 



(36) ^| — W(t', x\, x' 2> . . . x' m , p\ , p' 2 , . . . p' m ) = 0. 



Wenn wir also, um die Lösung von (35) zu erzielen, erstens die Lösung von (34) unter der 

 Form (32): x\= Ui, p' f = V it wo x\, p\ als Konstanten fungieren, öder unter der Form: 



Xi = U i\t , X j , X 2 , ... X m , p ! , p 2 , • • • P m) > 



(37) 



Pi=V'i( ), 



