1 C. F. E. BJORLING, 



vidsträckt eller inskränkt omfattning vi för öfVigt tagit detta problem, hvars fullstän- 

 diga solution väl tvifvelsutan ligger längre bort, än vetenskapen någonsin kan komma, 

 visar sig tillräckligt af det följande. Här må blott nämnas, att ehuru var metod utan 

 synnerlig svårighet torde kunna utsträckas till eqvationer med komplexa koefficienter, 

 vi dock inskränkt oss till dem med reella, dels för att undvika allt för stor vid- 

 lyftighet, dels emedan detta sednare slag af eqvationer bilda en både vidsträckt och 

 noga begränsad klass, som väl är förtjent af särskild undersökning. 



Solutionen af ofvannämnda problem innefattar, åtminstone efter det sätt, hvarpa 

 vi här tagit detsamma, tvenne särskilda momenter, nemligen för det första bestämman- 

 det af de banor eller vägar, rotpunkterna följa, då man låter någon af eqvationens 

 koefficienter variera, för det andra bestämmandet af de trakter af vägen, der de, för 

 vissa värden på koefficienten, befinna sig. Väg-systemet eller — för att begagna ett 

 modernt uttryck — »väg-nätet» kan tvifvelsutan väljas af åtskilliga slag; för vår del 

 anse vi det fördelaktigast att dertill taga de kurvor, för hvilka vi af skäl, som i det 

 följande skola visa sig, föreslagit benämningen »komplexa primär-kurvor», det vill säga 

 de, hvilkas eqvation är 



/(*) - £rw + ffr c*) - f?/ v,, w + = o, 



der f(x) betyder en algebraisk, rationel och hel funktion, eller hvilka tillika med #-axeln 

 representera i polar-koordinater eqvationen 



<ir" sin np -\- br n ~ 1 sin (n -- 1) /; -\- cr"~ 2 sin (n — 2) p -f- -f- gr sin 2p -\- hr $\np = 0, 



der a, b, c, .... g, h betyda reella konstanter. 



Har man väl lyckats konstruera den komplexa primär-kurvan till en gifven eqva- 

 tion, så erhålles svaret på frågans sednare del utan svårighet. Kroklinien bestar nem- 

 ligen, om man undantager de enskilda fall, då multipel-punkt förekommer, af n--l 

 skilda grenar af två olika slag. Vi benämna de ena transversal-, de andra lateral-grenar. 

 På hvar och en af de sednare finnes alltid en rotpunkt, på hvar och en af de förra 

 antingen två eller ingen. Denna sanning utgjorde sjelfva grundsatsen i ett af oss ut- 

 gifvet föregående arbete i denna väg, »Sur la Separation des Racines d'équations algé- 

 briques» (Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups. Ser. Ill), hvarest vi af densamma gjorde 

 användning på åtskilliga eqvationer, utan att likväl uppgifva någon allmän metod för 

 konstruktionen af deras komplexa primär-kurvor, hvilken, såsom i det följande skall 

 visa sig, utgör just den svårare delen af problemet. 



Synektiska Funktioners Differentialer. 



§ l. 



Antagom till en början, att u och z äro tvenne reella variabler, förbundna genom 

 relationen 



(i) u = A«). 



