THEORI FOR ALGEBRAISKA EQVATIONERS RÖTTER. 5 



Om vi här göra z komplex, sättande 



(2) z = x -f yi, 



der x och y betyda reella qvantiteter, samt i den imaginära enheten, så blir äfven u 

 komplex. Vi sätta 



(3) u = X-\- Yi, 



der -X och Y betyda tvenne reella funktioner af x och y. 



Funktionen u, på detta sätt definierad, är monogen '). Vi antaga här också allt- 

 jeuit, att den är synektisk. 



Vi föreställa oss x och y såsom de rätvinkliga koordinaterna för en punkt z i ett 

 plan; X och Y såsom koordinaterna för en annan punkt a i samma plan. Vi benämna 

 en punkt hvilkensomhelst i planet reel eller komplex, allteftersom den är belägen på 

 ^-axeln eller ej. 



Då punkten z rör sig utefter en kurva, bcskrifver punkten u en motsvarande. 

 Vi benämna den förra den primära, den sednare den sekundära. 



Vidare sätta vi 



a och A äro följaktligen de vinklar, som de båda kurvornas tangenter bilda med .r-axeln. 

 Sätta vi nu 



(5) /(*) - V+ Ti - Qé» t 



der X' och Y' betyda tvenne reella funktioner af x och y, så erhälles af relationen 



(6) du = f'{z)dz, 

 eller 



(7) dX + id Y = (X + Yi) (dx + idy) 

 de båda följande 



(8) dX = X'dx — Ydy, 



(9) dY= Y'dx + X'dy, 

 hvilka bilda utgångspunkten för våra vidare undersökningar. 



§ 2. 



Genom att dividera (1, 9) med (1, 8) erhålles 



H + ( li 



,.< dT _ 7'dx + X'dy _ X' "*" dx 



\ V > dX X'dx — Y'd<j ~~ _ r dy ' 



X' ' dx 



eller, på grund af (1, 4) och (1, 5), 



(2) tg4 = 3 ^J^ = ,g« / + «), 

 hvilken formel kan skrifvas 



(3) A — a = (p ± In. (t helt tal eller noll). 



') Se t. ex. Bhiot et Bouquet, Tliéorie d. Fonctions doublement périodiques; pag. 10. 



