6 



C. F. E. BJÖHLING, 



Genom att qvadrera och addera (1, 8) och (1, 9) erhålles, efter en enkel reduktion, 



(4) dX 2 + clY 2 = (X' 2 + Y' 2 ) (da? + dy 1 ) 

 eller, om vi sätta 



(5) dX 2 -\~ dY 2 = dS 2 , da? -\- dy 2 = ds 2 , 



då s och S betyda de båda kurvornas båglängder, räknade från någon viss punkt, 



(6) ö? = 9- 



De bada formlerna (o) och (6) kunna sålunda uttryckas i ord: 



Derivatans argument är vinkeln mellan de båda kurvornas tangenter; 



Derivatans modyl är uttrycket för den hastighet, hvarmed den beroende variabeln rör 

 sig pä sin kurva, dä den oberoende variabelns hastighet är konstant och antages till enhet. 



Af dessa satser torde måhända lika vidsträckt användning kunna göras som af 

 den välbekanta om derivatans af reella funktioner geometriska betydelse. För att ej 

 afvika frän vårt ämne måste vi emedlertid här inskränka oss till framställandet af några 

 enkla korollarier, af hvilka ett och annat kommer att åberopas i det följande. 



Om derivatan beskrifver en, genom origo gående, rät linie, sä bilda de bada kur- 

 vornas tangenter i motsvarande punkter konstant vinkel med hvarandra. 



Om derivatan beskrifver en cirkel med origo till medel pankt, sä rör sig den beroende 

 variabeln med konstant hastighet. 



Om derivatan befinner sig i en punkt pä x- eller y -axeln, så äro de båda kurvor- 

 nas tangenter parallela eller vinkelräta, respektive. 



Om derivatan gär genom origo, står den beroende variabeln stilla. 



I detta sista fall har vanligen den ena af kurvorna en singulier punkt. 



Dessa fyra satser kunna omvändas, hvilket deremot ej är fallet med den följande. 



Om den beroende variabeln rör sig utefter en rät linie, kan den ej vända, utan att 

 derivatan blir noll. 



§ 3. 



Vi öfvergå nu till uppsökandet af uttryck för differentialerna af högre ordningar 

 af funktionerna X och Y, analoga med de i formlerna (1,8) och (1,9) för differentia- 

 lerna af första ordningen framställda. 



Härvid förutsätta vi alltjemt, att icke blott sjelfva funktionen f(z), utan ock alla 

 dess derivator äro synektiska '). Alltså kunna vi sätta 



(i) /"'(*) = £- 



eller om vi antaga 



(2) f m \z) = X {m) + Y {m H, 



der naturligtvis med X {m) och Y'' } förstås tvenne reella funktioner af x och y, 



( o\ w i -in™),- _ d«x+id *r 



\°/ y^. -t- i t -- (da . + tl///)ll/ 



') Det iir i sjelfva verket bevisadt, ati om en funktion är synektisk, så är dess derivats del .-ifven. Se t. ex. 

 Briot et Bouquet, Tli. d. Fonct. douhl. period.; pag. 34. 



